기상 기후 강의 노트

1. 추정의 개념

통계적 추론(statistical inference) : 표본으로부터 얻은 정보를 이용하여 과학적으로 미지의 모수를 추론하는 과정
추정(estimation) :  표본평균, 표본비율, 표본분산 등과 같은 표본으로부터 얻은 통계량을 이용하여 모수를 추론하는 과정

점추정 (point estimation) : 모수에 대한 추정량은 표본추출에 따라 가변적이므로 최적의 추정량을 설정하여 가장 보편타당한 추정값을 얻어야 하며, 이와 같은 최적의 추정값을 구하는 과정

구간추정(interval estimation) : 미리 정해진 어느 정도의 확신을 가지고 모수 q의 참값이 포함될 것으로 믿어지는 구간을 추정하는 방법

[Note]  바람직한 추정량의 성질

1. 불편성 unbiasedness

    모수에 대하여 가능한 많은 표본정보를 내포하고 있는 추정량의 성질

2. 최대우도추정

3. 모평균의 구간추정

4. 모비율의 구간추정

5. 표본의 크기 결정

6. 모분산의 구간추정

표본분포 

모분산을 알고 있는 비현실적인 경우 

● 아래와 같은 확률분포를 갖는 모집단으로부터 크기가 36인 확률표본을 추출한다고 하자. 이 때, P(3.5 < X ≤ 4.5) 를 구하라. 

x <- c(1, 2, 3, 4, 5, 6) 
f_x <- c(0.3, 0.1, 0.1, 0.1, 0.3, 0.1)
mean <- sum(x * f_x)  # 모평균
var <- sum(x^2 * f_x) - mean^2    # 모분산
mean; var
#모평균과 모분산을 이용하여, 표본평균과 표본분산 계산
S_mean <- mean
S_var <- round(var/36, 3)
S_mean; S_var
# z 값 계산
(z_low <- round((3.5 - S_mean)/sqrt(S_var), 3))
(z_high <- round((4.5 - S_mean)/sqrt(S_var), 3))
round(pnorm(z_high) - pnorm(z_low), 4)

●  모비율 0.6인 모집단으로부터 크기 36인 표본을 취했을 때 표본비율 p가 0.5와 0.7 사이일 확률은?

p <- 0.6; n <- 36
sd<- round(sqrt(p* (1-p) / n), 2)
sd
(z_low <- (0.5 - p) /sd)
(z_high <- (0.7 - p) /sd) 
round(pnorm(z_high) - pnorm(z_low), 4)

카아제곱분포

● Z ~ N(0,1) 일때, P(Z2 < 3.841)을 구하시오. 

# pnorm(분위수, 평균, 표준편차)를 이용하여 정규분포로 부터 P(-sqrt(3.841 < Z < sqrt(3.841)를 구함.
# 평균과 표준편차를 생략하면 표준정규분포로 부터 계산함
pnorm(sqrt(3.841)) - pnorm(-sqrt(3.841))
# 또는
# pchisq(분위수, 자유도)를 이용하여 카이제곱분포로 부터 P[x^2(1) < 3.841)을 구함
round(pchisq(3.841, 1),2 )

● 어떤 회사에서 생산되는 철근의 장력은 분산 σ² = 100인 정규분포를 따른다. 11개의 강철빔들을 무작위로 추출할 때, 그 장력의 표본분사 S²이 205보다 클 확률은?

p <- 0.6; n <- 36
(sd<- round(sqrt(p* (1-p) / n), 2))
(z_low <- (0.5 - p) /sd)
(z_high <- (0.7 - p) /sd) 
round(pnorm(z_high) - pnorm(z_low), 4)

T 분포

모분산을 알지 못하는 현실적인 경우 

● 어느 학교의 학생들의 IQ는 평균 120인 정규분포를 따른다. 25명의 학생들을 무작위로 추출했을 때, IQ의 표준편차는 S=6이었다. (1) 표본평균 X가 117보다 크지 않을 확률을 구하여라. 

mean <-120; sd <- 6; n <- 25 
x <-117 
t <- (x- mean) / (sd/sqrt(n))
t
round(pt(t, n-1), 2)

1. 표본 분포

모분산이 알려진 경우 (비현실적, 이상적인 경우)

X1, X2 가 취할 수 있는 값은 각각 0, 1, 2, 3 이다. 표본평균 X의 확률분포를 구하기 위하여 X1, X2 의 결합분포를 생각하면, 위 표와 같이 나타낼 수 있다. 

한편,  X1, X2 가 취할 수 있는 값은 각각 0, 1, 2, 3 이므로, X의 관찰 가능한 값은 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3 이므로, X1과 X2사이에는 아래와 같은 관계가 있다. 

 X=0    : (X1, X2 ) = (0, 0)

 X=0.5 : (X1, X2 ) = (0, 1), (1, 0)

 X=1.0 : (X1, X2 ) = (0, 2), (1, 1), (2, 0)

 X=1.5 : (X1, X2 ) = (0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0)

 X=2.0 : (X1, X2 ) = (1, 3), (3, 1), (2, 2)

 X=2.5 : (X1, X2 ) = (2, 3), (3, 2) 

 X=3.0 : (X1, X2 ) = (3, 3)

따라서, X의 확률분포는 아래 표와 같다.

중심극한 정리와 표본평균의 표본분포 비교

(참고) 표본 비율을 특정할 수 없는 경우, 1/2 로 지정한다. 

2. 카이제곱분포

모평균을 추정하기 위해 표본평균을 사용

모분산을 추정하기 위해 표본분산을 사용

모평균 추론을 위해서 표본평균의 분포를 알아야

모분산 추론을 위해서 표본분산의 분포를 알아야

카이제곱분포

두 범주형 변수간의 연관성을 검정하는데 주로 사용

카이제곱분포 만들기

1. 표준정규분포에서

2. 변수 한 개(자유도 1) 를 랜덤하게 추출

3. 그 변수를 제곱해서 히스토그램으로 표현

이 과정을 반복하면, 아래 양의 히스토그램.

한번에 추출하는 변수가 2개 이상, 즉 자유도 2개 이상이면, 변수들을 각각 제곱해서 더함. 따라서, 더해주는 변수가 많아질 수록 정규분포에 접근(중심극한 정리)

카이제곱 분포 응용

 

3. T 분포 

모분산이 알려지지 않은 경우 (현실적인 경우)

정리

베르누이 분포와 이항분포

● 앞면이 나올 가능성이 1/3인 왜곡된 동전을 반복해서 3번 던질 때 확률변수 X를 앞면이 나온 횟수라 하자. 이 때 확률변수 X의 확률 분포를 구하라. 

#MASS 패키지 사용
#dbinom(성공횟수, 시행횟수, 성공확률)을 이용해 이항분포로부터 P(X = x)를 구한다. 
library(MASS)
n =3; p = 1/3
xx <- dbinom(0:3, n, p)  
#names()를 이용하여 확률분포표의 형태로 출력
names(xx) <- c("0", "1", "2", "3")
xx
#as.fractions()를 이용하여 소수를 분수로 변환
frac_xx <- as.fractions(xx)
names(frac_xx) <- c("0", "1", "2", "3")
frac_xx

● 한 개의 공정한 주사위를 4번 던질 때 1의 눈이 나타날 확률분포를 구하여라. 

n =4; p = 1/6
xx <- dbinom(0:4, n, p)
names(xx)=c("0", "1", "2", "3", "4")
round(xx, 3)

● 동전 1개를 5회 던질 때, 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 X라고 할 때, X의 평균과 분산, P(X≤2)를 구하시오. 

#distrEx 패키지 내 Binom(표본크기, 성공확률)로 이항분포를 정의
#E(X), var(X)로 평균과 분산을 구함. 
library(distrEx)
x <- c(0, 1, 2, 3, 4, 5)
xx <- Binom(5, 0.5)
as.fractions(E(xx))
as.fractions(var(xx))

또는

x <- c(0, 1, 2, 3, 4, 5)
xx <- dbinom(0:5, 5, 0.5)
xx
as.fractions(mean_xx <- sum(x * xx))  
as.fractions(var_xx <- sum((x - mean_xx)^2 * xx))
as.fractions(pbinom(2, 5, 0.5))

포아송 분포

● 어떤 복권 판매점에서는 매일 10시와 11시 사이에 고객이 평균 60명씩 몰려든다고 하자. 그렇다면 10시와 11시 사이에 1분당 2명이 도착할 확률은?

# 1분당 평균 도착할 확률은 lambda
time = 60; people = 60
lambda = people/time
#dpois(발생횟수, 평균)을 이용, 포아송 분포로 부터 P(X=2)를 구함. 
dpois(2,lambda)

● 어떤 공장에서 생산된 물건의 불량율이 0.0001이다. 그 공장의 생산라인에서 50,000개를 임의로 추출하여 2개 이하의 불량품이 나올 확률은? 

n = 50000; p = 0.0001
lambda = n * p 
# ppois(분위수, 평균발생횟수)를 이용하여 포아송 분포로 부터 P(X<=2)를 구함
ppois(2, lambda)
# 또는 
# pbinom(분위수, 표본 크기, 성공 확률)을 이용하여 이항분포로부터 P(X<=2)를 구함. 
pbinom(2, n, p)

정규분포 

● 통계학과 학생의 영어성적은 N(75, 9)인 정규분포를 따른다고 한다. 어느 한 학생의 영어성적이 80점 이상일 확률을 구하라. 

x <- 80
mean <- 75
sd <-3
z <- (x-mean)/sd
round(z,2)
#pnorm(분위수)를 이용 정규분포로 부터 P(X >= 80)을 구하기 위해서, 1-P(X <= 80)을 이용
round(1-pnorm(z),4)

포아송 분포

● 어느 영한사전은 한 페이지에 오타가 평균적으로 2개있다. 이 사전에서 어느 한 페이지를 보았을 때 오타가 3개 이상 있을 (1) 확률 (2) 기대값과 분산은?

풀이:

확률변수 X는 오타의 평균이므로 X는 l =2인 포아송 분포를 따르므로 X~(2)

● 

● 어떤 전구는 평균 수명이 790시간이고, 표준편차가 40시간인 정규분포를 따른다. 16개의 전구를 추출할 경우 평균수명이 775시간 보다 짧을 확률을 구하시오 

답: u= 790, sigma=40,  n= 16   P(X<= 775) = 1-P(Z<1.5) = 1-0.9332 = 0.0668

● 앞면이 나올 확률이 0.5인 동전을 100번 던졌을 경우, 앞면이 50번 이상 나올 확률은? 

풀이:  이항분포의 정규근사 조건 np>5이고 n(1-p)>5를 만족하므로 E(X) = np =50, Var(X) =npq = 25

따라서 P(X>50) = P(Z > (50-50)/5 = 0) = 1-P(Z<0) =   0.5

● 

이산형 확률분포들의 개념

균일분포(이산형)

확률변수 X는 x1부터 xn까지 균일한 크기인 1/N의 확률을 갖는 분포

베르누이 시행

동등한 실험조건하에서 실험의 결과가 단지 두 가지의 가능한 결과(성공,실패)만 갖는 분포

이항분포*

성공의 확률이 p인 베르누이 시행을 독립적으로 n번 반복 시행했을 때 성공의 횟수에 대한 분포

포아송 분포*

단위시간(면적, 공간) 내에서 발생하는 어떤 사건의 횟수에 대한 분포

기하분포*

성공의 확률이 p인 베르누이 시행을 처음으로 성공할 때까지의 시행횟수에 대한 분포

음이항부포

성공의 확률이 p인 베르누이 시행을 독립적으로 반복시행할 때 k번 성공할 때 까지의 시행횟수에 대한 분포

초기하분포

크기  N의 유한 모집단 중 크기 n의 확률표본을 뽑을 경우, N개 중 k개는 성공으로 나머지 (N-k)개는 실패로 분류하여 비복원으로 뽑을 때, 성공의 횟수에 대한 분포

연속형 확률분포들의 개념

균일분포(연속형)

구간 (a,b)에서 값들이 나타날 가능성이 균일한 분포

정규분포*

평균은 곡선의 중심위치를 결정하고, 표준편차는 그 곡선의 퍼진 정도를 나타내는 종모양의 분포

지수분포*

어떤 사건이 포아송 분포에 의해서 발생될 때 지정된 시점으로부터 이 사건이 일어날 때 까지 걸린 시간을 측정한 분포

감마분포*

지수분포의 개념을 확장하여 a번의 사건이 발생할 때까지의 대기시간 분포

카이제곱분포

모분산이 특정한 값을 갖는지 여부를 검정하거나 두 범주형 변수간의 연관성을 검정하는데 사용되는 분포

t분포*

소표본에서 정규분포를 따르는 집단의 평균에 대한 가설검정 또는 두 집단의 평균 차이검정에 사용되는 분포

F분포

집단간 분산비 검정에 주로 사용되는 분포

대류권은 연직적으로 자유대기와 대기경계층으로 크게 나눌 수 있다. 자유대기는 수평적 대기 흐름(이류)이 대기경계층에서는 연직(수직)적 대기 흐름(난류)가 지배적이다. 대기 경계층에서의 난류는 지표면와 맞닿은 대기 층 사이의 온도와 바람의 차이로 발생한다. 이 난류는 소용돌이로서 난류 에디라 부르며 지표와 대기 사이의 열, 운동량, 물질(수증기, 대기오염물) 을 교환한다. 

1. Reynolds  실험

레이놀즈 실험에 대한 예제 영상들

https://www.youtube.com/watch?v=pae5WrmDzUU

https://www.youtube.com/watch?v=upHHx42r4E0

2. Reynolds 수

아래 대기 역학 방정식을 고려해 보자. 

예를 들어 단면적의 지름이 L인 원통을 통과하는 유체의 특성길이는 L이다. 유체 운동의 대표 길이 (characteristic scale)를 L, 유체 흐름의 속도를 u라고 두고 각 변수를 아래와 같이 무차원화 시키면, 관성항과 점성항의 비는 아래와 같고, 이를Reynolds 수라고 한다.  즉,  레이놀즈 수는 점성력에 대한 관성력의 비로 정의된다. 

 

Re<1: 원주에 대칭적인 정상상태 (stationary state) , 
Re<<1 이면 비선형항인 관성항이 무시되어 해석해 구할 수 있다. 
Re=1~10: 여전히 정상상태의 흐름이지만, 원주뒤쪽에 흐름이 분리되어 한 쌍의 와동을 발생시킨다. 이 와동쌍은 Re와 함께 점점 커진다. 
Re=10~10^2: 흐름에 따라 두개의 와동이 ㅓ로 나란히 배치되는 Karman vortex street (와열) 가 형성된다. 흐름은 비정상적이지만, 주기적. 
Re=10^2~10^5: Re가 증가함에 따라 와열은 무너지고, 뒤따르는 wake 는 비주기적인 난류로 바뀐다. 
Re>10^5: 완전한 난류 상태로 바뀐다. 원주표면 경계층까지 난류로 바뀌면서 경계층이 원주로 부터 분리되는 점이 뒤로 밀려, 뒤따라는 난류 흐름의 폭이 좁아진다.

4. 대기 경계층 내 레이놀즈 수

"난류는 불규칙적 흐름의 상태이며, 그 흐름 중에는 여러가지 양이 시공간적으로 불규칙적 변동을 하고 있다. 따라서, 인간은 통계적인 평균값만 인식가능하다." (Hinze, J.O., 1975: Turbulence). 

● 대류권을 BL와 FL로 나누고 다시 행성 경계층의 구조를 도식화하고 설명하시오. 

● 행성 경계층의 일변화를 도식화하고, 혼합층, 잔류층, 야간 안정 경계층의 용어를 사용하여 설명하시오. 

● 경계층 내 가온위, 습도, 대기오염물의 농도, 풍속의 연직구조를 주간과 야간으로 나누어 설명하시오. 

● 기상현상의 시간 및 공간 규모 macro, meso-α, meso-β, meso-γ, micro-α, micro-β 로 나누어 표로 도식화하고, 각 규모를 대표하는 기상현상을 쓰시오. 

● 플럭스를 현열플럭스와 잠열플럭스로 나눌 때 보웬비 방법이 사용되었다. 이 방법을 간단히 설명하고 그 단점을 서술하시오. 

● 토양 속에서 온도의 시간적 변화를 나타내는 식으로 유도하라

● 토양의 깊이에 따라 최고 온도가 나타나는 시각은 어떻게 변화하고, 온도 변화폭은 어떻게 변하는가? 

● 플럭스 리차드슨 수를 정의하고 이로부터 경도 리차드슨 수를 유도할 때, 무슨 이론이 적용되는지 쓰시오. 

k-theory

● 대기 시스템의 안정도는 정적 안정도와 동적 안정도로 나뉜다. 각각 어떤 과정을 거쳐 시스템의 불안정을 안정화 시키는가? 

정적안정도는 대류가 더 맣은 부력 유체를 상승시켜 안정화되고, 동적안정도는 난류가 wind shear를 감소시켜 안정화된다. 

● 이상적인 지표를 생각하자. 차고 습한 지면 위를 온난 건조한 공기가 이동하는 경우, 낮 시간 지표면 부근  에너지 수지 방정식 각 항의 방향(상/하)를 간단히 그리고 설명하시오. 

● 낮 시간 지면의 하향단파복사를 태양상수, 대기 투과율, 태양 고도각을 이용하여 수식으로 표현(모수화)  하시오. 

● 굴뚝에서 나오는 연기는 혼합층 내에서 어떤 모양을 나타내는가? 수업시간에 다룬 6가지 중 가장 가까운 형태에 대해서 서술하시오.

● 자유 대류(free convection)와 강제 대류(forced convection)을 구분하고 설명하시오. 

자유대류: 바람 없고 맑을 때 부력에 의해서 ; 강제 대류: 바람이 강하고 구름이 많을 때

● 지표층과 혼합층의 특성을 각각 서술하시오. 

● 포화되어 물방울이 형성되어 있는 공기 덩어리에 대하여 가온위를 계산하는 식을 온위, 수증기 포화혼합비, 물방울 혼합비를 사용하여 가온위를 나타내어라. 이로부터 가온위는 수증기량이 많을 수록 (증가, 감소) 하고 응결된 물방울이 많을 수록 (증가, 감소)함을 알 수 있다(괄호 내 알맞은 단어를 선택하시오).

증가, 감소

● 대기 난류는 열적 난류와 기계적 난류로 분류할 수 있다. 이 난류들 중 어느 것이 더 지배적인가는 리차드슨 수를 근거로 추정한다.  리차드슨 수의 구간에 따라서 정적 안정도, 동적 안정도  그리고 흐름 상태에 대하여 각각의 특징을 설명하시오.

● 난류소송과 분자확산의 에너지 및 물질 교환과정의 차이점을 설명하시오. 또한 지표층과 그 상부의 경계층 사이에서 물과 에너지 교환에 나타나는 난류수송의 중요성에 대해서 설명하시오.

● 층류와 난류를 결정하는 두 가지 힘을 기술하고, 두 힘의 상대적인 역할을 정량적으로 나타내는 무차원 수를 정의하고 설명하시오. 

● 보웬비를 정의하고, 고온의 해양과 저온의 설빙면에서의 보웬비 차이를 유발하는 이유를 설명하시오. 

● 바람이 거의 없는 맑은 날 야간에 나지에서의 지표면으로 부터 방출되는 장파복사량은 300 W m^-2 이고 대기로 부터 받는 장파복사량은 250 W m^-2 이다. 지표면에서의 에너지 수지 방정식에 적절한 가정을 사용하고 토양열 플럭스를 추정하시오.