통계 R :: 표본 분포

표본분포 

모분산을 알고 있는 비현실적인 경우 

● 아래와 같은 확률분포를 갖는 모집단으로부터 크기가 36인 확률표본을 추출한다고 하자. 이 때, P(3.5 < X ≤ 4.5) 를 구하라. 

x	1	2	3	4	5	6
f(x)	0.3	0.1	0.1	0.1	0.3	0.1

x <- c(1, 2, 3, 4, 5, 6) 
f_x <- c(0.3, 0.1, 0.1, 0.1, 0.3, 0.1)
mean <- sum(x * f_x)  # 모평균
var <- sum(x^2 * f_x) - mean^2    # 모분산
mean; var
#모평균과 모분산을 이용하여, 표본평균과 표본분산 계산
S_mean <- mean
S_var <- round(var/36, 3)
S_mean; S_var
# z 값 계산
(z_low <- round((3.5 - S_mean)/sqrt(S_var), 3))
(z_high <- round((4.5 - S_mean)/sqrt(S_var), 3))
round(pnorm(z_high) - pnorm(z_low), 4)

●  모비율 0.6인 모집단으로부터 크기 36인 표본을 취했을 때 표본비율 p가 0.5와 0.7 사이일 확률은?

p <- 0.6; n <- 36
sd<- round(sqrt(p* (1-p) / n), 2)
sd
(z_low <- (0.5 - p) /sd)
(z_high <- (0.7 - p) /sd) 
round(pnorm(z_high) - pnorm(z_low), 4)

 

카아제곱분포

● Z ~ N(0,1) 일때, P(Z2 < 3.841)을 구하시오. 

# pnorm(분위수, 평균, 표준편차)를 이용하여 정규분포로 부터 P(-sqrt(3.841 < Z < sqrt(3.841)를 구함.
# 평균과 표준편차를 생략하면 표준정규분포로 부터 계산함
pnorm(sqrt(3.841)) - pnorm(-sqrt(3.841))
# 또는
# pchisq(분위수, 자유도)를 이용하여 카이제곱분포로 부터 P[x^2(1) < 3.841)을 구함
round(pchisq(3.841, 1),2 )

● 어떤 회사에서 생산되는 철근의 장력은 분산 σ² = 100인 정규분포를 따른다. 11개의 강철빔들을 무작위로 추출할 때, 그 장력의 표본분사 S²이 205보다 클 확률은?

p <- 0.6; n <- 36
(sd<- round(sqrt(p* (1-p) / n), 2))
(z_low <- (0.5 - p) /sd)
(z_high <- (0.7 - p) /sd) 
round(pnorm(z_high) - pnorm(z_low), 4)

 

T 분포

모분산을 알지 못하는 현실적인 경우 

● 어느 학교의 학생들의 IQ는 평균 120인 정규분포를 따른다. 25명의 학생들을 무작위로 추출했을 때, IQ의 표준편차는 S=6이었다. (1) 표본평균 X가 117보다 크지 않을 확률을 구하여라. 

mean <-120; sd <- 6; n <- 25 
x <-117 
t <- (x- mean) / (sd/sqrt(n))
t
round(pt(t, n-1), 2)