기상 기후 강의 노트

● 확률변수 X와 Y의 결합분포가 아래와 같을 때, 아래 물음에 답하시오.

(1) X와 Y의 공분산은?

답: 

E(X)=0.5;      E(X^2)=0.5 따라서 V(X)=0.25

E(Y)=1;      E(Y^2)=1 따라서 V(Y)=1

Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0.6 - 0.5 x 1 = 0.1

(2) X와 Y의 상관계수는? 

답:

Corr = 0.1 / (0.5 x 1) = 0.2

● 하나의 동전을 세번 던졌을 때 나오는 뒷면의 수를 X, 처음  두 번의 시행에서 나오는 앞면의 수를 Y라 하였을 때, 아래 물음에 답하시오.

(1) 두 확률변수 X, Y의 공분산은?

답: 

Cov(X, Y) = E(XY) - μ_x μ_y = 1 x 1/4 + 2 x 1/4 + 2 x 1/8 - 3/2 x 1 = -0.5

(2) 두 확률변수 X, Y의 상관계수는? 

답:

V(X) = npq = 3 x 1/2 x 1/2 = 3/4

V(Y) = npq = 2 x 1/2 x 1/2 = 1/2

따라서, Cov(X,Y)/sqrt(V(X) V(Y)) = -0.5/sqrt(3/4 x 1/2) = -sqrt(2/3)

1. 베르누이 분포

서로 상반되는 두 가지 결과(성공, 실패) 또는 (앞면, 뒷면), (불량품, 양호품) 등으로 이루어진 통계실험에서 성공의 가능성이 p (0 ≤ p ≤ 1)이라 하고, 확률변수 X를 성공이면  X = 1, 실패이면 X = 0이라 할 때, X의 확률분포를 모수 p인 베르누이 분포(Bernoulli distribution)라 하고 X ~ B(1, p)로 나타낸다.

2. 이항분포

매 시행에서 성공률이 p, (0 < p < 1)인 베르누이 시행을  n번 독립적으로 반복시행할 때, 성공한 횟수 X의 확률분포를 모수가 n, p인 이항분포(binomial distribution)라 하고, X ~ B(n, p)로 나타낸다.

베르누이 시행은 2가지 결과로 나타나며, 이항분포는 동일한 베르누이 시행을 독립적으로 n번 행한 것.

● 다음 확률변수 X에 대하여 기대값과 분산을 수식으로 정의하시오.

(1) 이산확률변수 X의 기대값 E(X)

(2) 이산확률변수 X의 분산 Var(X)

(3) 연속확률변수 X의 기대값 E(X)

(4) 연속확률변수 X의 분산 Var(X)

● 결합확률밀도 함수 f(x,y)에 대해 다음을 정의하시오

(1) ∑_y f(x,y)

(2) ∫_-∞^∞ f(x,y) dy

(3) ∑_x f(x,y)

(4) ∫_-∞^∞ f(x,y) dx

(5) X와 Y가 독립이면 f(x,y)

(6) f(x|y)

(7) 이산확률변수 X와 Y에 대해 E(X|y)

(8) 연속확률변수 X와 Y에 대해 E(X|y)

(9) E_Y[E(X|Y)]

(10) E_X[E(Y|X)]

● 다음 표는 2020년도 기상사업 전망으로, 예상되는 성잘률에 대한 확률을 나타내는 것이다. 이 표로 부터 기대괴는 성장률을 구하면? 

답:

성장률(a)가 나타날 확률이 p일때 기대갑은 a x p 이다. 

5% x 0.6 = 3%; 10% x 0.3 = 3%; 15% x 0.1 = 1.5%

따라서, 3개를 합치면 7.5%

●

기대값의 성질

E(X) = μ

E(a X) = a E(X), 단 a는 상수

E(X + b) = E(X) + b, 단 b는 상수

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

E[(ab(X) + cd(Y)] = a E[b(X)] + c E[d(Y)], 단 a, c는 상수

E(ab XY) = ab E(XY), 단 a,b는 상수 (만약, 독립이면 E(ab XY)  = ab E(X) E(Y) )

분산의 성질

Var(X) = E[(X-μ)²] = E(X²) - [E(X)]²

Var(a) = 0, 단 a는 상수

Var(aX) = a² Var(X), 단 a는 상수

Var(a + b X) = b² Var(X), 단 a와 b는 상수

Var(aX + bY) = a² Var(X) + b² Var(Y) + 2ab Cov(X,Y), 단 a와 b는 상수

Var(aX - bY) = a² Var(X) + b² Var(Y) - 2ab Cov(X,Y), 단 a와 b는 상수 (만약, 독립이면 Cov(X,Y)=0)

1. 이산형 분포의 기댓값

확률변수 X의 치역이 R이고  이산형 분포를 갖는다고 가정하자.

이때 다음이 성립하면 확률변수 X는 기댓값이 존재한다.

다음 값을 X의 기댓값(expectation)이라 한다.

어느 복권의 상금을 확률변수 X로 하여 다음과같은 확률분포를 생각해 보자.

확률변수의 기대값

X의  분포로부터 직접 기댓값을 구하는 경우

2. 기대값의 성질

3. 분산

● 다음 값을 구하시오. 

0! = 

_nP₀ = 

_nP_n = 

_nC₀ =

_nC_n = 

● x의 확률함수 f(x)가 다음과 같을 때, (x-1)의 기대값은?

답:이산확률변수의 기대값의 성질 E(nX+b) = aE(X)+b

E(X) = ∑ xif(x) = (-1x1/8)+(0x1/8)+(1x2/8)+(2x2/8)+(3x2/8) = 11/8

E(X-1) = E(X)-1 = 3/8

● 주사위를 던져 나온 눈의 수를 X라 하면 X의 기대값은?

답:

E(X) = ∑ xif(x)  = 1x1/6+2x1/6+3x1/6+4x1/6+5x1/6+6x1/6=3.5

● 아래 표의 확률분포에 대한 기대값은

답: 

E(X) = ∑ xif(x) =1.1

● 구간 [0,1]에서 연속인 확률변수 X의 확률밀도함수가 f(x)=1일때, X의 평균은?

답:

E(X) = ∫ xf(x)dx = ∫10 x dx = [1/2 x2]10 = (1/2 - 0)=1/2

● X,Y의 결합분포함수는 f(x,y) = xy²/13 (x,y)=(1,1)(1,2)(2,2)이고 U,V의 결합분포함수는 g(u,v) = uv²/30 (u=1,2,3; v=1,2)이다. (1) X,Y는 서로 독립인가? (2) U,V는 서로 독립인가?

답:

f(x)f(y)≠f(x,y)이므로 X,Y는 서로 독립이 아니다

g(u)f(v)=g(u,v)이므로 U,V는 서로 독립이다.

● 기대값 E(X) = 3, E(X²) = 30 일때, 분산 var(X)는?

답: var(X)  = E(X²) - [E(X)]² = 30 - 9 = 21

● 우리나라에서 해마다 줄어들고 있는 멸종위기 종 두루미의 개체수를 파악하기 위하여 한 연구소에서 2019년에 200마리의 두루미를 포획하여 다리에 GPS추적기를 붙였다. 2020년에 50마리의 두루미를 잡아 확인해 보니 20마리에서 태그를 발견할 수 있었다. 우리나라의 두루미의 개체 수는 얼마인가?

답: 포획 재포획x : 200 = 50:20 ==> x= 500

● 결합확률밀도함수가 0<y<x<1일때 f(x,y) = 6x이고 나머지 조건인 경우 0으로 주어졌다면 E[E(Y|X)]는?

답: 조건부 기대값의 기대값

fx(x) = ∫x0 6x dy = [6xy]x0 = 6x2       (0<x<1)

fy(y) = ∫1y 6x dx = [3x2]1y = 3 - 3y2  (0<y<1)

E[E(Y|X)] = E(Y)이므로

E(Y) = ∫10 y(3 - 3y2)dy = ∫10 (3y - 3y3)dy = [3/2 y²]10 - [3/4 y⁴]10 = 3/2 - 3/4 = 3/4

● 확률변수 X의 분포가 다음과 같다. 

(1) 기대값을 구하라.

답:

E(X)  = (-2)(0.1) + (-1)(0.2) + 0(0.4) + 1(0.2) + 2(0.1) = 0

(2) Y=X² 라고 할때, E(X)=E(Y)=E(X²) 을 계산하고, E(X²)=[E(X)]² 임을 확인하라

답:

E(X²) = (-2)2(0.1) + (-1)2(0.2) + 02(0.4) + 12(0.2) + 22(0.1) = 1.2 이다. 그러나, (1)에서 기대값의 제곱은 [E(X)]2 = 02 = 0 이므로 제곱의 기대값 1.2와 다르다.

(3) Y의 확률분포를 구하고 이로부터 E(X)=E(Y)=E(X²)을 계산하라. 

답:

이므로, E(Y) = 0(0.4) + 1(0.4) + 2(0.4) = 1.2 로서, (2)에서 구한 결과와 일치한다.

(4) 분산 var(X)를 구하라.

답: 

E(X) = 0, E(X²) = 1.2 이므로 분산 간편식에 의해 var(X) = 1.2 - 02 이다. 

● 흰 달걀 1개와 갈색 달걀 1개가 들어 있는 바구니에서 달걀 2개를 차례로 선택할 때 두 확률 변수 X와 Y를 다음과 같이 정의하자. 

X=1, 첫번째에 흰색 달걀이 나올때 

     0, 첫번째에 갈색 달걀이 나올때 

Y=1, 두번째에 흰색 달걀이 나올때

     0, 두번째에 갈색 달걀이 나올때

X, Y의 결합분포를 (1) 비복원추출일 때 (2) 복원추출일 때 각각 구하라. 

답: 

(1) 비복원 추출의 경우, 조건부 시행이므로

P(X=1, Y=1) = 0

P(X=1, Y=0) = P(Y=0|X=1)P(X=1) = 1/2

P(X=0, Y=1) = P(Y=1|X=0)P(X=0) = 1/2

P(X=0, Y=0) = P(Y=0|X=0)P(X=0) = 0

따라서, 비복원 추출의 경우, X, Y의 결합분포는 다음과 같다. 

(2) 복원추출의 경우는 매 시행이 독립시행이므로 결합분포는 다음과 같다.