경계층 대기는 중립상태이고, 수평온도경도 및 연직속도가 존재하지 않는다고 가정하면, 경계층 내의 이론적 풍향 및 풍속 프로파일을 유추할 수 있다. 이러한 프로파일은 1890년대 V. W. Ekman에 의한 해양 상층부에서의 흐름의 연구로 부터 처음으로 얻어 졌고, 그 후 대기 경계층에 응용되어져 왔다.
지표 바람은 등압선에 대해 45° 각도로 저기압 쪽으로 불고, 상공으로 갈수록 마찰력이 감소하여 풍속이 증가하고, 북반구(남반구)에서는 시계(반시계) 방향으로 바뀌면서 나선형이 된다. 이것을 에크만 나선이라 한다(그림). 그림의 벡터는 V1, V2, V3... 순으로 고도가 높아진다. 또한, 고도에 따라 등압선과 이루는 각이 작아지고, 마찰의 영향을 거의 받지 않는 높이에 이르러서는 등압선과 나란하게 부는 지균풍이 된다. 그러나 실제 대기에서는 이상적인 조건이 정확히 성립하는 경우는 거의 없으며, 바람구조는 매우 민감하기 때문에, 완벽한 에크만 나선은 일반적으로 존재하지 않는다.
대기가 불안정하다면, 연직 운동의 확장 때문에 난류의 연직 발달은 강화된다. 반면에 안정한 상태에서의 난류의 연직 발달은 약화된다. 에디(소용돌이 Vortex)들은 중립 경계층에서 w' = u'로 회전한다. 불안정한 경계층에서의 역학적 난류는 여전히 지표 부근에서는 지배적이나, 고도가 증가함에 따라 부력의 영향에 의해 w' > u'의상태가 되기 때문에, 에디는 연직으로 뻗어 나간다. 그러므로 위로부터의 운동량 플럭스는 강화되고, 저층에서의 바람은 강해진다.
그림 9. 안정도에 따른 에디 형태와 바람과 온위의 프로파일
안정한 경계층일 경우, 지표 부근에서는 역학적 난류가 지배적이고 에디는 회전하나, 고도가 증가함에 따라 부력이 연직 운동에 저항하여 버팀으로서 에디는 옆으로 평평하게 펴지는 형태가 된다. 즉, 의 상태가 되고, 위로부터의 운동량 플럭스가 억제되기 때문에 지표 부근의 바람은 약해진다(그림 9).
이러한 안정한 상태에서 억제된 운동량 플럭스는 비록 중립의 경우보다 지표 부근의 바람이 더 약하다 할지라도 하층에서의 운동량 손실이 없는 만큼 고도별 바람은 더 강하다는 것을 의미한다. 불안정한 상태에서 운동량은 경계층 내에서 더 균등하게 분산된다. 그 결과, 고도별 바람은 중립의 경우 보다 더 약하고, 지표 부근의 바람은 더 강하다. 이러한 연직 변화량의 증가는 경계층을 더 깊게 하고, 반면에 안정한 프로파일은 경계층 깊이를 제한 한다(그림 10, 그림 11).
그림 10. 그림 9의 윈드 프로파일들을 합친 경우 (출처: Met Office)
그림 11. 그림 10의 로그 프로파일 형태 (출처: Met Office)
이론적 대수법칙 프로파일로 부터의 이러한 시도들은 식 (11.14)가 단지 중립 상태의 경계층 깊이 전체에 걸쳐서 유효하다는 것을 의미한다. 또한, 역학적 힘이 부력보다 지배적이고, 에디들이 회전하는 몇 미터 안 되는 최 하층에서는 여전히 유효하다.
역학적 vs. 부력 메커니즘 (Mechanical vs. Buoyancy mechanisms)
비중립 상태일 경우, 경계층에서의 난류 발생에 있어서 역학적 메커니즘 대 부력 메커니즘의 상대적 중요성은 Monin-obukhov 안정도 길이(L), 시어(shear) 대 부력의 비율로 나타내어진다.
고도 z를 고려하면, z < L 의 경우는 시어가 난류 형성에 지배적이고, 반면에 z > L 의 경우는 부력이 지배적이다.
전형적으로, 대류가 활발한 주간에는 이 약 50m이고, 그 아래에서는 시어가 지배적이다. 매우 안정적인 야간에는 이 약 10m이다.
굴뚝 배출 연기 형태 (Smoke plumes)
1. 중립상태
중립 상태의 유리한 조건은 강한 바람과 흐린 하늘이다. 그러한 상황에서, 지표는 열 에너지원으로 작용하지 않고, 공기는 가열되지 않는다. 기온감율 은 단열감율이고, 연직 변위하는 공기 덩어리에 부력이 작용하지 않는다. 그러므로 이러한 중립상태에서의 굴뚝에서 배출되는 연기는 같은 수평과 연직 비율로 순풍 방향으로 퍼져 나가며, 그림 12와 같은 원추형 (Coning)을 나타낸다.
그림 12. 중립상태에서의 원추형(coning) 굴뚝 연기
2. 불안정 상태
불안정한 경계층은 약한 바람과 햇빛이 있는 주간에 전형적으로 나타난다. 지표는 데워지고, 그 열은 하층 대기로 이동한다. 이것은 온도 상승과 자유 대류혼합을 일으키고, 불안정한 기온감율을 야기한다. 또한, 따뜻한 바다위 에서 부는 차가운 공기도 불안정한 경계층을 발생시킨다. 이 두 경우에, 강 한 바람이 불면 역학적 난류가 증가되고 연직교환을 위한 자유 대류가 덜 지배적이기 때문에 경계층이 중립적으로 되어 간다. 매우 불안정한 대기에 서, 굴뚝에서 배출되는 연기 형태는 그림 13과 같은 큰 대류성 에디들에 대응하는 환상형(Looping) 패턴을 보인다.
그림 13. 불안정 상태에서의 환상형 (looping) 굴뚝 연기
3. 고요한 상태
고요한(Calm) 야간의 육상에서 발달하는 경계층은 안정 상태이다. 지표면 은 열을 손실하고, 대기 최하층부는 차가워진다. 이로 인하여 역학적인 난 류를 억제하는 안정적인 기온감율이 나타난다. 이러한 안정적인 상태에서 적당히 거칠은 지표일 경우의 10m 바람은 일반적으로 경도풍(Gradient Wind)의 25%정도 이고, 중립 상태에서는 50%, 불안정 상태에서는 70%정
도 이다. 또한, 불안정 경계층의 경우에 언급했듯이, 바람 강도의 증가는 경 계층을 더 중립적으로 만든다. 이때, 혼합에 의하여 차가운 공기는 위로 보 내지고, 위에 있던 따뜻한 공기는 아래로 내려온다. 대기가 안정한 상태일 때, 굴뚝에서 배출되는 연기는 순풍 방향으로 수평하게 퍼져 나가지만, 연 직으로는 퍼지지 않는다. 그러므로 연기형태는 그림 14와 같이 부채형 이다.
그림 14. 안정 상태에서의 부채형(fanning) 굴뚝 연기. 삽입된 그림은 원추형과 부채형을 위에서 봤을 때 옆으로 퍼지는 형태를 나타냄.
z = 0 이면, ln 0 = -∞이기 애문에 u = - 무한 이 되므로 비현실적인 조건. 따라서, 식 (10)은 거칠기 길이 (z0)라 불리는 최소 고도에서만 의미가 있다.
적분상수 B를 결
정하기 위해서, 식(10)에서 u(z0)=0, 즉 z0에서 풍속은 0이라는 조건을 붙인다.
(11)
따라서, B는 아래와 같이 정의된다.
(12)
식 (12)를 식 (10)에 대입하면,
(13)
결과적으로 아래 식이 된다
(14)
따라서, 마찰속도와 거칠기 길이 식에 의해 경계층의 어떤 고도에서도 바람을 구할 수 있다. ln z에 대하여 u는 ln z 축의 절편은 z0이고, 기울기는 k/u* 인 선형관계가 된다.
출처: Met Office
그림 4. 경계층에서 u와 ln z 의 선형관계
마찰속도와 거칠기 길이는 서로 다른 고도에서 관측된 두 개 이상의 바람 관측치로부터 구할 수 있다. (그림 4). 그리고 마찰속도를 가지고, 식(6)에 의하여 운동량 플럭스 또는 전단응력을 계산할 수 있다. 거칠기 길이는 윈드프로파일(Wind Profile)에서 풍속이 0인 고도(높이)로 정의될 수 있다. 거칠기는 공기역학 텍스트에서 자주 사용되는데, 지표의 높이, 형태, 저항 등, 즉, 지면 등의 거칠은 정도를 말한다. 지표의 종류에 따른 거칠기 길이는 아래 표 1과 같다
표 1. 지표의 종류에 따른 거칠기 길이
아래 그림은 3종류의 다른 지표의 경우 윈드 프로파일.
아래 식에 의해서, 어떤 고도에서라도 거칠기 길이가 클 경우 바람 u(z)는 더 작다(식 (11.14)).
또한, 미끈한 지표에서의 경계층 높이는 거친 지표일 경우만큼 높게 발달하지 않는다.
그림 5. 지표 거칠기에 따른 풍속의 연직 변동: (a) 매끈한 지표, (b) 적당히 거친 지표, (c) 매우 거친 지표
영면변위 (Zero plane displacement)
식생 높이의 활성 표면은 에너지 변동이 발생하는 중요한 곳으로 정의된다. 식생 꼭대기 부근에서는 기류를 방해하는 항력(drag)이 발생할 것이다. 식생 위에서의 바람은 대수법칙에 따르며, 식생 꼭대기 부근에 위치한 식생상부층 ‘영면변위(d)’에서는 마치 지표면에서와 같은 흐름의 양상을 보여준다(그림 6). 즉, d는 식생 꼭대기 부근에서 식생에 의해 발생하는 항력을 나타낼 수 있다. 실례로, 식생이 매우 밀집되어 있는 경우, d=2h/3이다. 그러므로 d는 대부분의 식생에서 매우 유용한 풍속의 함수이다.
그림 6. 식생높이(h)에서의 전형적인 윈드프로파일과 고도(d)에서의 영면변위 개념.
이러한 식생에서의 윈드프로파일의 영향을 고려하여 식 (11.14)는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 이론적으로 (d+z0)에서 풍속은 0이나, 실제로 에서의 풍속은 0까지 떨어지지 않는다.
다른 거칠기를 갖는 지표에서의 기류
거칠기 길이 z01의 지표에서 z02의 지표까지의 기류 때문에 발생하는 운동량의 변화는 윈드프로파일의 점차적인 상향 변화를 야기한다 (그림 7). 내부 경계층은 수 km에 달하는 수평 취송거리(페치, Fetch)의 함수로서 다른 거칠기의 지표에 의해 변한다.
그림 7. 취송거리의 함수로서 내부 경계층의 성장
그러므로, 다양한 거칠기를 갖는 지표가 연속적으로 존재할 때, 내부 경계층은 아래 그림 8과 같이 매우 복잡하게 발달한다.
점성 응력은 유체 내 층밀림 즉, 전단 운동(shearing motion)이 존재할 때만 작용한다. 난류든 층류든 상관없음.
유체가 운동을 하면, 유체 내 분자들은 주변 분자들에게 운동과 같은 방향으로 끌림(drag)력을 작용하게 되어 변형을 일으킨다 (Fig. j)
점성력(viscous force)는 육면체의 어떤 면에서든 3방향으로도 작용할 수 있다 (Fig. f) 즉, 한면에 대해서 3방향으로 작용한다. 따라서 9개의 components를 가지는 tensor 이다. 대칭 요소를 제외하면 Reynolds' stress와 같이 6개 성분만 남는다.
“When I meet God, I am going to ask him two questions: why relativity and why turbulence? I really believe that he will have and answer for the first.”
- 양자역학의 아버지 베르너 하이젠베르크 (Werner Heisenberg)
그 만큼 난류해석이 어렵고 무질서 하다는 의미.
주변에서 가장 흔히 볼 수 있는 난류의 예 담배연기 - 층류에서 어느 순간 갑자기 난류로 바뀜 (사실 유체역학적 정의로서 담배연기 흐름은 난류가 아님.)
