대류권은 연직적으로 자유대기와 대기경계층으로 크게 나눌 수 있다. 자유대기는 수평적 대기 흐름(이류)이 대기경계층에서는 연직(수직)적 대기 흐름(난류)가 지배적이다. 대기 경계층에서의 난류는 지표면와 맞닿은 대기 층 사이의 온도와 바람의 차이로 발생한다. 이 난류는 소용돌이로서 난류 에디라 부르며 지표와 대기 사이의 열, 운동량, 물질(수증기, 대기오염물) 을 교환한다.
1. Reynolds 실험
난류에 대한 이론과 실험에서 큰 업적을 남긴 사람은 레이놀즈(Reynolds, O., 1843-1912)이다.
아래 그림과 같이 수조속에 유리관을 눕혀 놓고, 그 속에 물을 통화시킨다. 물이 흘러들어가는 관 안의 유체 흐름상태를 살펴보기 위하여, 관입구 근처에 착색한 액을 주입시킨다.
실험에서 흐름의 2가지 상태를 발견하였는데, 그림에서와 같이 유속이 작을 때는 색소선을 관을 따라 하류까지 깨끗하게 흘러가지만 (a), 유속이 어떤 값 이상이 되면 색소선은 급격히 난류화되어 관 속에서 가득히 퍼지면서 희석된다 (b). 전자를 층류, 후자를 난류라고 한다.
이 실험으로 부터 Reynolds 는 층류에서 난류로 변하는 것은 Reynolds 수(Re)라고 알려진 무차원 파라미터가 ~2,000 을 넘을 경우에 발생한다는 것을 발견했다.
예를 들어 단면적의 지름이 L인 원통을 통과하는 유체의 특성길이는 L이다. 유체 운동의 대표 길이 (characteristic scale)를 L, 유체 흐름의 속도를 u라고 두고 각 변수를 아래와 같이 무차원화 시키면, 관성항과 점성항의 비는 아래와 같고, 이를Reynolds 수라고 한다. 즉, 레이놀즈 수는 점성력에 대한 관성력의 비로 정의된다.
여기서, v는 운동학적 점성계수 10-5 m2/s 이다.
점성력이 크다는 것은 입자 사이에서 서로 붙들고 있는 힘 (응력)이 크다는 의미이다. 따라서, 점성력이 크면 층류가 유지되려고 하고 반대로 점성력이 작아지면 입자 사이 응력이 작아져서 흐름이 나란히 진행되지 않고 서로 뒤엉키는 상태인 난류가 된다.
Re<1: 원주에 대칭적인 정상상태 (stationary state) ,
Re<<1 이면 비선형항인 관성항이 무시되어 해석해 구할 수 있다.
Re=1~10: 여전히 정상상태의 흐름이지만, 원주뒤쪽에 흐름이 분리되어 한 쌍의 와동을 발생시킨다. 이 와동쌍은 Re와 함께 점점 커진다.
Re=10~10^2: 흐름에 따라 두개의 와동이 ㅓ로 나란히 배치되는 Karman vortex street (와열) 가 형성된다. 흐름은 비정상적이지만, 주기적.
Re=10^2~10^5: Re가 증가함에 따라 와열은 무너지고, 뒤따르는 wake 는 비주기적인 난류로 바뀐다.
Re>10^5: 완전한 난류 상태로 바뀐다. 원주표면 경계층까지 난류로 바뀌면서 경계층이 원주로 부터 분리되는 점이 뒤로 밀려, 뒤따라는 난류 흐름의 폭이 좁아진다.
3. 레이놀즈 수의 의미
(1) 유체흐르의 시간규모 (L/U)와 운동량 확산의 시간규모 (L2/v) 의 비.
(2) 난류에 의한 확산과 분자에 의한 확산의 비
기하학적으로 닮은꼴의 두 흐름이 있을 때,그Re가 같다면 그 크기에 상관없이 같은 형태의 유체운동을 가지게 된다.즉,유체 흐름의 특성은Re수의 크기에 의해 결정된다.
임계 레이놀즈 수:
Re 가 약 2000 이상 되는 유체 흐름을 난류라고 하고, 층류에서 난류로 전이되는 순간의 이 레이놀즈 수를 임계 레이놀즈 수라고 한다.
Reynolds 수가 무차원식의 유일한 매개변수라는 것의 의미:
4. 대기 경계층 내 레이놀즈 수
대기 경계층에서는 속도 규모가 10m/s, 특성 길이(경계층 높이)가 1km이고, 운동학적 점성계수 가 10-5 m2/s이므로 레이놀즈 수는 109 값을 갖는다. 이 값은 임계 레이놀즈 수 보다 훨씬 큰 값이므로 대기경계층에서의 흐름은 난류가 유지 된다.
"난류는 불규칙적 흐름의 상태이며, 그 흐름 중에는 여러가지 양이 시공간적으로 불규칙적 변동을 하고 있다. 따라서, 인간은 통계적인 평균값만 인식가능하다." (Hinze, J.O., 1975: Turbulence).
●이상적인 지표를 생각하자. 차고 습한 지면 위를 온난 건조한 공기가 이동하는 경우, 낮 시간 지표면 부근 에너지 수지 방정식 각 항의 방향(상/하)를 간단히 그리고 설명하시오.
●낮 시간 지면의 하향단파복사를 태양상수, 대기 투과율, 태양 고도각을 이용하여 수식으로 표현(모수화) 하시오.
●굴뚝에서 나오는 연기는 혼합층 내에서 어떤 모양을 나타내는가? 수업시간에 다룬 6가지 중 가장 가까운 형태에 대해서 서술하시오.
●자유 대류(free convection)와 강제 대류(forced convection)을 구분하고 설명하시오.
자유대류: 바람 없고 맑을 때 부력에 의해서 ; 강제 대류: 바람이 강하고 구름이 많을 때
●지표층과 혼합층의 특성을 각각 서술하시오.
●포화되어 물방울이 형성되어 있는 공기 덩어리에 대하여 가온위를 계산하는 식을 온위, 수증기 포화혼합비, 물방울 혼합비를 사용하여 가온위를 나타내어라. 이로부터 가온위는 수증기량이 많을 수록 (증가, 감소) 하고 응결된 물방울이 많을 수록 (증가, 감소)함을 알 수 있다(괄호 내 알맞은 단어를 선택하시오).
증가, 감소
●대기 난류는 열적 난류와 기계적 난류로 분류할 수 있다. 이 난류들 중 어느 것이 더 지배적인가는 리차드슨 수를 근거로 추정한다.리차드슨 수의 구간에 따라서 정적 안정도, 동적 안정도 그리고 흐름 상태에 대하여 각각의 특징을 설명하시오.
● 난류소송과 분자확산의 에너지 및 물질 교환과정의 차이점을 설명하시오. 또한 지표층과 그 상부의 경계층 사이에서 물과 에너지 교환에 나타나는 난류수송의 중요성에 대해서 설명하시오.
● 층류와 난류를 결정하는 두 가지 힘을 기술하고, 두 힘의 상대적인 역할을 정량적으로 나타내는 무차원 수를 정의하고 설명하시오.
● 보웬비를 정의하고, 고온의 해양과 저온의 설빙면에서의 보웬비 차이를 유발하는 이유를 설명하시오.
● 바람이 거의 없는 맑은 날 야간에 나지에서의 지표면으로 부터 방출되는 장파복사량은 300 W m-2 이고 대기로 부터 받는 장파복사량은 250 W m-2 이다. 지표면에서의 에너지 수지 방정식에 적절한 가정을 사용하고 토양열 플럭스를 추정하시오.
난류에 대한 이론적, 실험적 업적을 크게 남긴 사람은 레이놀즈(Reynolds, O., 1843-1912)이다. 그의 유명한 실험 중 하나인 관 속에서의 염료의 흐름 관측이다.
수조속에 유리관을 눕혀 놓고, 그 속에 물을 통화시킨다. 물이 흘러들어가는 관 안의 유체 흐름상태를 살펴보기 위하여, 관입구 근처에 착색한 액을 주입시킨다.
실험에 대한 예제 영상은 아래 링크 등을 참조할 수 있다.
https://www.youtube.com/watch?v=pae5WrmDzUU
https://www.youtube.com/watch?v=upHHx42r4E0
이 실험에서 Reynolds는 흐름에 뚜렷한 두가지 다른 상태가 있다는 것을 발견하였다. 아래 그림에서와 같이 유속이 작을 때는 색소선을 관을 따라 하류까지 깨끗하게 흘러가지만 (그림 (a)), 유속이 어떤 값 이상이 되면 색소선은 급격히 난류화되어 관 속에서 가득히 퍼지면서 희석된다 (그림 (b)). 전자를 층류, 후자를 난류라고 한다.
이 실험으로 부터 Reynolds 는 층류에서 난류로 변하는 것은 오늘날 Reynolds 수라고 알려진 무차원 파라미터 ( )가 거의 2,000 을 넘을 경우에 발생한다는 것을 발견했다.
이 실험 이후로도 수 많은 사람들이 난류를 이해하기 위한 실험을 진행해 왔다. 힌체는 난류를 다음과 같이 정의했다 (Hinze, J.O., 1975: Turbulence). "난류는 불규칙적 흐름의 상태이며, 그 흐름 중에는 여러가지 양이 시공간적으로 불규칙적 변동을 하고 있다. 따라서, 인간은 통계적인 평규값만 인식가능하다."
앞의 4가지 독립변수는 3가지 기본 차원 (길이, 시간, 온도)를 포함하므로, 버킹엄 파이 정리를 이용하면, 아래와 같이 단 하나의 독립 무차원 그룹으로 공식화 할 수 있다. (전개 생략)
오브코프 길이는 난류 흐름에 대한 부력의 영향을 설명하기 위한 것인데,특히 대기 경계층의 10분의 1 이하 지표경계층에서 사용된다. 1946년 알렉산더 오부호프에 의해 처음 정의되었다. 모닌과 오브코프가 개발한 상사이론에서 중요한 역할을 하기 때문에 모닌-오브코프 길이로도 알려져 있다.
오브코프 길이 (L) 정의
난류가 바람시어보다 부력에 의해 더 많이 발생하는 높이
시어(마찰효과)가 중요한 지표면 부근 역학(기계적)난류층의 두께
역학난류 층의 두께 또는 역학난류 아층의 특성높이(규모)
L의 범위 ( -∞ < L <∞ )
L에 대한 물리적 해석
모닌-오브코프 상사 이론를 바탕으로 해석된다.
낮 동안 -L은 난류 운동 에너지(TKE)의 부력 생산이 바람의 전단 작용(TKE의 전단 생산)에 의해 생성되는 것과 동일한 높이이다. 오브코프 길이는 일반적으로 1에서 수십 미터 정도
안정 대기: 양
불안정 대기: 음
중립대기 : 무한
아래 그림은 육지의 맑은 날씨 조건에서 오브코프 길이의 전형적인 일변화를 나타낸다.
Mahdi Abkar (researchgate.net)
Stull (1988)
리차드슨 수와 비교
아래 식은 부력효과와 시어효과의 중요성을 측정하는 매개변수로서 리차드슨 수와 유사하다.지표면으로 부터 고도가 높아지면서 부력의 중요성이 증가한다. 따라서, z/L는 높이에 따라 선형으로 변한다.
주어진 방향에서의 어떤 물리량의 플럭스는 그 방향에 수직인 단위면적 을 통해서 단위시간당 지나가는 물리량으로 정의.단위는 J s-1 m-2또는 W m-2.
지표면 에너지 수지
ideally horizontally homogeneous 한 이상적인 지표면에서만 적용되는 에너지 평형 이론으로서 아래와 같이 표현된다.
또는
좌변은 순복사 플럭스, 우변 첫째항 부터 현열, 잠열, 지중열 플럭스
실제 지표면
수평적으로 heterogeneous하고, 기울기도 가질 수 있다. 따라서,실제상황에서는 접촉영역의 어떤 층(interfacial layer) 에서의 에너지 수지를 고려하는 것이 타당.
}이 층은 유한한 질량과 열용량을 가지고 에너지를 저장하거나 방출한다고 가정하고, 이 에너지의 변화를 에너지 수지로 생각한다. 이 경우 아래와 같이 1차원 에너지 수지 방정식으로 표현할 수 있다.
여기서〖∆H〗_s은 층 내에서 단위 면적당 단위 시간당 에너지 저장량의 변화이고, ideal surface 에서의 수지 방정식과의 주된 차이다.
∆H_s층 내에서 단위면적당 단위시간당 에너지 저장량의 변화
if ∆H_s> 0 ,"플럭스 수렴, 층 가열"
if ∆H_s< 0 , 플럭스 발산, 층 냉각
어떤 매체의 열용량이 z에 독립이면, 이 식은 에너지 저장률과 층의 가열률 (또는 냉각률) 사이의 관계식.
∆H_s는 층으로 들어오는 에너지와 나가는 에너지의 차이로 설명할 수 도 있다.
보웬비 (Bowen ratio)
위 지표면 에너지 수지 식에서 잠열에 대한 현열의 비를 보웬비로 정의하고, 아래와 같이 전개할 수 있다.
각 지표면 특성에 따른 에너지 수지
1. 광활한 수면 (큰 호수, 바다와 해양)
작은 보웬비(B<<1)를 나타내므로 에너지 수지 식은 아래와 같이 근사된다.
물표면 온도의 일변화는 아래와 같은 이유로 작기 때문이다.
큰 열용량
해양 밑 수면 밑의 두꺼운 혼합층
수십 미터의 두께를 투과하는 태양 복사
따라서, 고온의 해양에서는 보웬비는 0에 가깝고, 저온의 설빙면에서는 보웬비가 상당히 크다.
2. 건조한 나지
건조한 지표면이므로,Rn= H + HG 로 근사된다.
3. 습윤한 지표면
알베도감소, 순복사 증가, 잠열 플럭스가 우세하고, 현열 플럭스는 감소하여 아래와 같은 근사를 보인다.
RN ~ HL
오아시스효과 (Oasis effect):
습윤한 지표면 위로 건조한 공기가 이류하면서, 강한 증발이 습한 표면으로 부터 일어나고, 결국 잠열의 이동이 지면을 냉각시킨다.따라서 잠열은강한 ( + ) 플럭스, 현열은 약한 ( – ) 플럭스. 강수나 관개가 중단되고 토양이 마르면, 증발률(E)와 LE는 감소,반면 현열 플럭스는 증가하게 되어, 보웬비는 증가한다.
4. 식생 캐노피
식생 캐노피 내에서 에너지 플럭스는 국지적인 공간에 따라 변함.
∆HS = 물리적인 에너지(열) 저장률 + 광합성에 따른 생화학적 열 저장률
HL =증발+증산(transpiration) ⇒증발산(evapotranspiration)
식생의 성장을 고려하면, 에너지 평형은 복잡해 지는 이유
Q*, H, LE모두가 canopy 내에서 변동하기 때문에 ∆HS 를 고려해 한다. 이 경우 Q, H, LE은 캐노피 top에서 측정된다.
에너지 저장율이 물리적 열 저장률과 생화학적 열 저장율로 나뉘기 때문이다. 생화학적 열 저장률은 수 시간 ~ 수일 의 시간 규모에서는 무시할 수 있다.
현열 플럭스는 증발 응결 뿐만 아니라 식물의 증산 작용에 의해서 많은 양이 발생한다. 증발과 증산의 결합을 evapotranspiration 이라고 하고, 캐노피 top에서 일정한 수증기 플럭스를 생성한다.
도시 캐노피는 건물, 거리, 나무 그리고 공원 등을포함하는 다양한 거칠기 요소들이 포함됨.
또는
Qf: 도시에서 사용된 연료소비와 관련된 열 플럭스, 즉 인공열 플럭스 (Anthropogenic heat flux )
도시 폐열에 의한 기온 증가 및 거칠기 요소들에 의한 난류 발달로 인한 현열 플럭스의 증가.
불침투성 지표면에 의해 증발할 수 있는 지표수의 양 감소되어 잠열 플럭스가 감소됨.
따라서 ⇒ 큰 보웬비를 나타냄
관측 결과에 따르면, 도시와 교외지역의 Q*는 큰 차이가 나지 않는다. 그러나Qf가 추가되서면더 큰 총 에너지 플럭스를 만들게 된다. 식에서Qf를 직접 측정하는 것은 불가능하다. 왜냐하면 도시 캐노피 내에는 에너지 흡수요소와 지표면이 복잡하게 산재해 있기 때문이다. 일반적으로Qf는 에너지 평형 방정식으로 부터 잔여항 residual로 결정(top-down 방식)하거나, 1인당 에너지 사용량과 인구밀도 자료를 바탕으로 추정한다 (bottom-up 방식).
주로 도시 내 상업 지구가 주요 인공열원이므로, 교외 주거 지역에서는 무시할 수 있다.도시는 주간에 알베도는 낮고 건물들로 인한 태양광흡수도는 높다. 따라서 기온이 증가고 canopy에 의해 난류가 강화됨으로, 사용가능한 에너지(폐열)의 많은 부분이 현열로 대기 중으로 들어간다. 또한 지표면이 불침투성이 크므로, 증발할 수 있는 수분량이 적어, LE가 상대적으로 작아 Bowen ratio는 크다.
도시의 에너지 수지에서 상대적으로 중요한 것은Qf/Q* 비율인데,LA에서 연평균 값은 ~0.2 , 모스크바에서는 ~3.0 이고, 보통 ~0.35 이다.
중립 안정도 대기 조건을 만족하는 중립대기는 현실에서는 거의 존재하지 않는다. 흐리고(overcast), 강한바람(지균풍)이 부는 경우에, 중립으로 간주할 수 있고, 이때를 ‘근중립(near neutral)' 대기라고 부른다.
중립대기에서 풍속을 나타내는 방법
멱법칙 풍속 분포 (power-law velocity profile)
대수 속도 연직 분포 법칙 (logarithmic velocity profile law)
속도 결손 법칙 (Velocity-defect law)
여기서는 이 중 지표 경계층(지표층)에서 풍속을 나타내는 멱법칙과 대수 연직 분포법칙만 다룬다.
1. 멱법칙 (power-law) 풍속 분포
경계층이나 채널 흐름 내의 유속의 분포는 다음과 같은 멱법칙(power-law)에 의해서 설명될 수 있다.
그림과 같이 아랫면은 고정, 윗면은 느린 속도 Uh로 이동하고, 두 층사이의 거리 h인 유로 내에서의 층류를 생각해 보자. 유체 내 속도는 고정면에서 0, 이동면에서 U까지 선형적으로 변하므로, 흐름 내 모든 곳의 속도경도는 아래와 같이 표현된다.
그러나, 유로 내에서의 실제 속도 분포는 비선형적이다. 따라서, Prandtl에 의해서 제시된 바와 같이, power-law에 의해서 아래와 같이 표현한다.
여기서, h는 경계층 두께 또는 ½ 유로깊이, 평면인 경우 m=1/7.
미기상학에서는 h 대신 zr 을 사용해서 아래식을 사용한다.
첨자 r 은 reference 높이로서, 표준관측에서는 10m 이다.
멱법칙 풍속 연직 분포는 풍속이 높이에 따라 선형적으로 증가하는 PBL 하층 부분(지표 경계층)에만 적용 가능하다.
멱법칙 풍속 연직 분포는 하단 경계층내에서의 난류 점성 (Km) 분포를 의미한다. 따라서, 멱지수가 n=1-m인 경우에, 아래와 같이 표현할 수 있다.
위 두 식을 켤레(공액)멱법칙 (conjugate power law)라고 부른다.
이 식은 운동량 플럭스가 거의 일정한 Constant stress layer (정응력층) 내에서 적용되고, 균일 지표면으로 이루어진 열, 수증기 전달 등의 대기확산 이론에 널리 사용됨.
멱법칙은 PBL하층에서 관측된 풍속 분포와 상당히 일치한다. (아래 그림 참조)
출처: Arya (2001)
여기서, m 은 (1) 지표면 거칠기와 (2) 안정도에 의존한다.
거칠기가 증가하면 증가 (수면, 눈 표면, 얼음면인 경우 0.1; 도시지역에서는 0.4)
안정도가 증가하면 증가. 최고 1.0에 접근 (즉, 선형분포)
2. 대수연직 분포 법칙 (Logarithmic velocity profile law)
운동량 플럭스가 고도에 따라 일정한 중립 지표층을 고려하자. (지표층에서는 전향력을 무시가능)
지표층 상사이론에 의해서 무차원 바람 시어는 아래와 같이 표현된다 (상사법칙 전개 생략).
k는 폰 카르만 (von Karman’s) 상수(0.4, 경험상수)로서 모든 지표층 또는 벽층에서의 보편상수이다. 위 식은 채널 파이프 흐름, 중립대기 지표층 내 속도 실험으로 증명되었다. u*는 마찰속도 (friction velocity)로 아래와 같이 정의한다.
z에 대해서 적분하면, 아래와 같은 대수 속도 연직 분포법칙(logarithmic velocity profile law)을 얻는다.
여기서, z0는 거칠기 길이 또는 거칠기 매개변수이다.
대수 속도 연직 분포 법칙은 오스트레일리아 왕가라 실험을 통해 증명되었다. (아래 그림)
* 왕가라 실험: 남부 오스트레일리아. 키작은 풀로 덮힌 지표면에서의 야외 실험
기하학적으로 맞춘 선을 기초로 u∗, z0를 추정할 수 있다. 만약 여러 풍속 연직 분포가 존재하면, 개개 연직 분포값으로 부터 구한 기하 평균으로 z0를 결정한다.
직선의 기울기:; ln z 축에 대한 절편:
출처: Arya (2001)
지표면 거칠기 매개변수 (Surface roughness parameters)
거칠기 길이 (roughness length z0): 풍속이 0가 되는 고도로서 아래 표와 같다.
출처: Arya(2001)
실제 바람 분포자료를 아래 대수 속도 연직분포 법칙식에맞춤(fitting)으로써 (경험적으로) 추정할 수 있다.
z0는 지형과 거칠기 요소의 평균 높이에 따라 달라짐.
위 관측 데이티 그림에서, h0 : 거칠기 요소의 평균 높이이고, 추세선 fitting 을 통해 추정된 z0 = 0.15 h0 이다.
변위높이 (displacement height, d0)
거칠기 요소들이 매우 밀집되어 있는 경우, 거칠기 요소의 꼭대기 부근이 역학적으로 영향을 받아, 새로 이동된 지표면처럼 작용한다. 즉, 실제 지표면과 거칠기 요소의 꼭대기 사이에 적절한 기준고도가 존재한다. 이 때,이동된 지표면과 실제 지표면과의 거리를 영면변위 (zero-displacement) 또는변위높이라 함.
d0 는 중립 안정도 조건에서 지표층에서 측정된 바람 분포로 부터 실험적(경험적)으로 산출되고, 대수 속도 연직 분포 식은 아래와 같이 변형된다.
연습문제
아래 평균 풍속은 남부 오스트레일리아 위도 34.5°S 의 한 지점에서, 근중립 안정도 조건 하에서 측정된 데이터이다. 관측으로 부터 z0, u*를 구하시오. 이때, 영면변위 d0 = 0 이다.
(1) Ln z에 대한 u의 도면을 그려라
(2) 10m와 100m에서의 연직 난류 강도를 계산하라.
(3) 지표면에서의 난류 운동 에너지 (TKE)를 계산하시오.
u(m/s)
z(m)
7.82
0.5
8.66
1
9.54
2
10.33
4
11.22
8
12.01
16
풀이
(1) Ln z에 대한u의 도면을 그려라
ln(z)를 구하고, 아래와 같은 그래프를 그려서 fitting 함수를 찾는다.
선형회귀선식은 ln z = 0.82 u - 7.15 이고, 아래 대수연직 분포 법칙 식과 비교하면,
u∗ = 0.49 m/s, z0= 7.9× 10-4 m 이다.
(2) 10m와100m에서의 연직 난류 강도를 계산하라.
연직난류 강도는
따라서,
z=10 m 에서의 연직난류 강도는
z=100 m,
(3) 지표면에서의 난류 운동 에너지 (TKE)를 계산하시오.
f
로 나타낼 수 있으므로,
(4) 지표층 위에서의 TKE 식은 아래와 같이 주어진다.
이를이용하여, 지표면 위 100m, 200m, 500m 에서의 TKE를 계산하시오. 단, a=4.6) , 또 PBLH 를 구하는 식
를 이용하여 PBLH를 산출하시오.
따라서, 각 높이에서의 TKE 값은 각각 1.11, 0.95, 0.59 이다. PBLH=1468 m
