중립 안정도 대기 조건을 만족하는 중립대기는 현실에서는 거의 존재하지 않는다. 흐리고(overcast), 강한바람(지균풍)이 부는 경우에, 중립으로 간주할 수 있고, 이때를 ‘근중립(near neutral)' 대기라고 부른다.
중립대기에서 풍속을 나타내는 방법
멱법칙 풍속 분포 (power-law velocity profile)
대수 속도 연직 분포 법칙 (logarithmic velocity profile law)
속도 결손 법칙 (Velocity-defect law)
여기서는 이 중 지표 경계층(지표층)에서 풍속을 나타내는 멱법칙과 대수 연직 분포법칙만 다룬다.
1. 멱법칙 (power-law) 풍속 분포
경계층이나 채널 흐름 내의 유속의 분포는 다음과 같은 멱법칙(power-law)에 의해서 설명될 수 있다.
그림과 같이 아랫면은 고정, 윗면은 느린 속도 Uh로 이동하고, 두 층사이의 거리 h인 유로 내에서의 층류를 생각해 보자. 유체 내 속도는 고정면에서 0, 이동면에서 U까지 선형적으로 변하므로, 흐름 내 모든 곳의 속도경도는 아래와 같이 표현된다.
그러나, 유로 내에서의 실제 속도 분포는 비선형적이다. 따라서, Prandtl에 의해서 제시된 바와 같이, power-law에 의해서 아래와 같이 표현한다.
여기서, h는 경계층 두께 또는 ½ 유로깊이, 평면인 경우 m=1/7.
미기상학에서는 h 대신 zr 을 사용해서 아래식을 사용한다.
첨자 r 은 reference 높이로서, 표준관측에서는 10m 이다.
멱법칙 풍속 연직 분포는 풍속이 높이에 따라 선형적으로 증가하는 PBL 하층 부분(지표 경계층)에만 적용 가능하다.
멱법칙 풍속 연직 분포는 하단 경계층내에서의 난류 점성 (Km) 분포를 의미한다. 따라서, 멱지수가 n=1-m인 경우에, 아래와 같이 표현할 수 있다.
위 두 식을 켤레(공액)멱법칙 (conjugate power law)라고 부른다.
이 식은 운동량 플럭스가 거의 일정한 Constant stress layer (정응력층) 내에서 적용되고, 균일 지표면으로 이루어진 열, 수증기 전달 등의 대기확산 이론에 널리 사용됨.
멱법칙은 PBL하층에서 관측된 풍속 분포와 상당히 일치한다. (아래 그림 참조)
출처: Arya (2001)
여기서, m 은 (1) 지표면 거칠기와 (2) 안정도에 의존한다.
거칠기가 증가하면 증가 (수면, 눈 표면, 얼음면인 경우 0.1; 도시지역에서는 0.4)
안정도가 증가하면 증가. 최고 1.0에 접근 (즉, 선형분포)
2. 대수연직 분포 법칙 (Logarithmic velocity profile law)
운동량 플럭스가 고도에 따라 일정한 중립 지표층을 고려하자. (지표층에서는 전향력을 무시가능)
지표층 상사이론에 의해서 무차원 바람 시어는 아래와 같이 표현된다 (상사법칙 전개 생략).
k는 폰 카르만 (von Karman’s) 상수(0.4, 경험상수)로서 모든 지표층 또는 벽층에서의 보편상수이다. 위 식은 채널 파이프 흐름, 중립대기 지표층 내 속도 실험으로 증명되었다. u*는 마찰속도 (friction velocity)로 아래와 같이 정의한다.
z에 대해서 적분하면, 아래와 같은 대수 속도 연직 분포법칙(logarithmic velocity profile law)을 얻는다.
여기서, z0는 거칠기 길이 또는 거칠기 매개변수이다.
대수 속도 연직 분포 법칙은 오스트레일리아 왕가라 실험을 통해 증명되었다. (아래 그림)
* 왕가라 실험: 남부 오스트레일리아. 키작은 풀로 덮힌 지표면에서의 야외 실험
기하학적으로 맞춘 선을 기초로 u∗, z0를 추정할 수 있다. 만약 여러 풍속 연직 분포가 존재하면, 개개 연직 분포값으로 부터 구한 기하 평균으로 z0를 결정한다.
직선의 기울기:; ln z 축에 대한 절편:
출처: Arya (2001)
지표면 거칠기 매개변수 (Surface roughness parameters)
거칠기 길이 (roughness length z0): 풍속이 0가 되는 고도로서 아래 표와 같다.
출처: Arya(2001)
실제 바람 분포자료를 아래 대수 속도 연직분포 법칙식에맞춤(fitting)으로써 (경험적으로) 추정할 수 있다.
z0는 지형과 거칠기 요소의 평균 높이에 따라 달라짐.
위 관측 데이티 그림에서, h0 : 거칠기 요소의 평균 높이이고, 추세선 fitting 을 통해 추정된 z0 = 0.15 h0 이다.
변위높이 (displacement height, d0)
거칠기 요소들이 매우 밀집되어 있는 경우, 거칠기 요소의 꼭대기 부근이 역학적으로 영향을 받아, 새로 이동된 지표면처럼 작용한다. 즉, 실제 지표면과 거칠기 요소의 꼭대기 사이에 적절한 기준고도가 존재한다. 이 때,이동된 지표면과 실제 지표면과의 거리를 영면변위 (zero-displacement) 또는변위높이라 함.
d0 는 중립 안정도 조건에서 지표층에서 측정된 바람 분포로 부터 실험적(경험적)으로 산출되고, 대수 속도 연직 분포 식은 아래와 같이 변형된다.
연습문제
아래 평균 풍속은 남부 오스트레일리아 위도 34.5°S 의 한 지점에서, 근중립 안정도 조건 하에서 측정된 데이터이다. 관측으로 부터 z0, u*를 구하시오. 이때, 영면변위 d0 = 0 이다.
(1) Ln z에 대한 u의 도면을 그려라
(2) 10m와 100m에서의 연직 난류 강도를 계산하라.
(3) 지표면에서의 난류 운동 에너지 (TKE)를 계산하시오.
u(m/s)
z(m)
7.82
0.5
8.66
1
9.54
2
10.33
4
11.22
8
12.01
16
풀이
(1) Ln z에 대한u의 도면을 그려라
ln(z)를 구하고, 아래와 같은 그래프를 그려서 fitting 함수를 찾는다.
선형회귀선식은 ln z = 0.82 u - 7.15 이고, 아래 대수연직 분포 법칙 식과 비교하면,
u∗ = 0.49 m/s, z0= 7.9× 10-4 m 이다.
(2) 10m와100m에서의 연직 난류 강도를 계산하라.
연직난류 강도는
따라서,
z=10 m 에서의 연직난류 강도는
z=100 m,
(3) 지표면에서의 난류 운동 에너지 (TKE)를 계산하시오.
f
로 나타낼 수 있으므로,
(4) 지표층 위에서의 TKE 식은 아래와 같이 주어진다.
이를이용하여, 지표면 위 100m, 200m, 500m 에서의 TKE를 계산하시오. 단, a=4.6) , 또 PBLH 를 구하는 식
를 이용하여 PBLH를 산출하시오.
따라서, 각 높이에서의 TKE 값은 각각 1.11, 0.95, 0.59 이다. PBLH=1468 m
; ln z 축에 대한 절편: 
