통계 이론 :: 기대값

기대값의 성질

E(X) = μ

E(a X) = a E(X), 단 a는 상수

E(X + b) = E(X) + b, 단 b는 상수

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

E[(ab(X) + cd(Y)] = a E[b(X)] + c E[d(Y)], 단 a, c는 상수

E(ab XY) = ab E(XY), 단 a,b는 상수 (만약, 독립이면 E(ab XY) = ab E(X) E(Y) )

Var(X) = E[(X-μ)²] = E(X²) - [E(X)]²

Var(a) = 0, 단 a는 상수

Var(aX) = a² Var(X), 단 a는 상수

Var(a + b X) = b² Var(X), 단 a와 b는 상수

Var(aX + bY) = a² Var(X) + b² Var(Y) + 2ab Cov(X,Y), 단 a와 b는 상수

Var(aX - bY) = a² Var(X) + b² Var(Y) - 2ab Cov(X,Y), 단 a와 b는 상수 (만약, 독립이면 Cov(X,Y)=0)

확률변수 X의 치역이 R이고 이산형 분포를 갖는다고 가정하자.

이때 다음이 성립하면 확률변수 X는 기댓값이 존재한다.

다음 값을 X의 기댓값(expectation)이라 한다.

어느 복권의 상금을 확률변수 X로 하여 다음과같은 확률분포를 생각해 보자.

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