● 다음 값을 구하시오.
0! =
nP0 =
nPn =
nC0 =
nCn =
● x의 확률함수 f(x)가 다음과 같을 때, (x-1)의 기대값은?
| x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| f(x) | 1/8 | 1/8 | 2/8 | 2/8 | 2/8 |
답:이산확률변수의 기대값의 성질 E(nX+b) = aE(X)+b
E(X) = ∑ xif(x) = (-1x1/8)+(0x1/8)+(1x2/8)+(2x2/8)+(3x2/8) = 11/8
E(X-1) = E(X)-1 = 3/8
● 주사위를 던져 나온 눈의 수를 X라 하면 X의 기대값은?
답:
E(X) = ∑ xif(x) = 1x1/6+2x1/6+3x1/6+4x1/6+5x1/6+6x1/6=3.5
● 아래 표의 확률분포에 대한 기대값은
| X | P(X) |
| 0 1 2 3 |
0.4 0.2 0.3 0.1 |
답:
E(X) = ∑ xif(x) =1.1
● 구간 [0,1]에서 연속인 확률변수 X의 확률밀도함수가 f(x)=1일때, X의 평균은?
답:
E(X) = ∫ xf(x)dx = ∫10 x dx = [1/2 x2]10 = (1/2 - 0)=1/2
● X,Y의 결합분포함수는 f(x,y) = xy2/13 (x,y)=(1,1)(1,2)(2,2)이고 U,V의 결합분포함수는 g(u,v) = uv2/30 (u=1,2,3; v=1,2)이다. (1) X,Y는 서로 독립인가? (2) U,V는 서로 독립인가?
답:
f(x)f(y)≠f(x,y)이므로 X,Y는 서로 독립이 아니다
g(u)f(v)=g(u,v)이므로 U,V는 서로 독립이다.
● 기대값 E(X) = 3, E(X2) = 30 일때, 분산 var(X)는?
답: var(X) = E(X2) - [E(X)]2 = 30 - 9 = 21
● 우리나라에서 해마다 줄어들고 있는 멸종위기 종 두루미의 개체수를 파악하기 위하여 한 연구소에서 2019년에 200마리의 두루미를 포획하여 다리에 GPS추적기를 붙였다. 2020년에 50마리의 두루미를 잡아 확인해 보니 20마리에서 태그를 발견할 수 있었다. 우리나라의 두루미의 개체 수는 얼마인가?
답: 포획 재포획x : 200 = 50:20 ==> x= 500
● 결합확률밀도함수가 0<y<x<1일때 f(x,y) = 6x이고 나머지 조건인 경우 0으로 주어졌다면 E[E(Y|X)]는?
답: 조건부 기대값의 기대값
fx(x) = ∫x0 6x dy = [6xy]x0 = 6x2 (0<x<1)
fy(y) = ∫1y 6x dx = [3x2]1y = 3 - 3y2 (0<y<1)
E[E(Y|X)] = E(Y)이므로
E(Y) = ∫10 y(3 - 3y2)dy = ∫10 (3y - 3y3)dy = [3/2 y2]10 - [3/4 y4]10 = 3/2 - 3/4 = 3/4
● 확률변수 X의 분포가 다음과 같다.
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| f(x) | 0.1 | 0.2 | 0.4 | 0.2 | 0.1 |
(1) 기대값을 구하라.
답:
E(X) = (-2)(0.1) + (-1)(0.2) + 0(0.4) + 1(0.2) + 2(0.1) = 0
(2) Y=X2 라고 할때, E(X)=E(Y)=E(X2) 을 계산하고, E(X2)=[E(X)]2 임을 확인하라
답:
E(X2) = (-2)2(0.1) + (-1)2(0.2) + 02(0.4) + 12(0.2) + 22(0.1) = 1.2 이다. 그러나, (1)에서 기대값의 제곱은 [E(X)]2 = 02 = 0 이므로 제곱의 기대값 1.2와 다르다.
(3) Y의 확률분포를 구하고 이로부터 E(X)=E(Y)=E(X2)을 계산하라.
답:
| y | 0 | 1 | 4 |
| P(Y=y) | 0.4 | 0.4 | 0.2 |
이므로, E(Y) = 0(0.4) + 1(0.4) + 2(0.4) = 1.2 로서, (2)에서 구한 결과와 일치한다.
(4) 분산 var(X)를 구하라.
답:
E(X) = 0, E(X2) = 1.2 이므로 분산 간편식에 의해 var(X) = 1.2 - 02 이다.
● 흰 달걀 1개와 갈색 달걀 1개가 들어 있는 바구니에서 달걀 2개를 차례로 선택할 때 두 확률 변수 X와 Y를 다음과 같이 정의하자.
X=1, 첫번째에 흰색 달걀이 나올때
0, 첫번째에 갈색 달걀이 나올때
Y=1, 두번째에 흰색 달걀이 나올때
0, 두번째에 갈색 달걀이 나올때
X, Y의 결합분포를 (1) 비복원추출일 때 (2) 복원추출일 때 각각 구하라.
답:
(1) 비복원 추출의 경우, 조건부 시행이므로
P(X=1, Y=1) = 0
P(X=1, Y=0) = P(Y=0|X=1)P(X=1) = 1/2
P(X=0, Y=1) = P(Y=1|X=0)P(X=0) = 1/2
P(X=0, Y=0) = P(Y=0|X=0)P(X=0) = 0
따라서, 비복원 추출의 경우, X, Y의 결합분포는 다음과 같다.
| X \ Y | 0 | 1 | P(Y=y) |
| 0 | 0 | 1/2 | 1/2 |
| 1 | 1/2 | 0 | 1/2 |
| P(X=x) | 1/2 | 1/2 | 1 |
(2) 복원추출의 경우는 매 시행이 독립시행이므로 결합분포는 다음과 같다.
| X \ Y | 0 | 1 | P(Y=y) |
| 0 | 1/4 | 1/4 | 1/2 |
| 1 | 1/4 | 1/4 | 1/2 |
| P(X=x) | 1/2 | 1/2 | 1 |
