당신 앞에 놓인 것은 항아리 A일까, B일까?
항아리 A와 항아리 B에는 각각 붉은색과 푸른색 구슬이 각각 20개씩 들어있다. 항아리 A에는 붉은 구슬 4개와 푸른 구슬 16개, 항아리 B에는 붉은 구슬 12개, 푸른 구슬 8개가 들어있다.
눈을 가리고 어떤 사람이 항아리를 당신 앞에 둔다고 하자. 당신이 항아리에 손을 넣고 잘 저은 후, 1개의 구슬을 꺼냈더니 붉은 구슬이었다. 이때 당신 앞에 놓인 것은 항아리 A일까 항아리 B일까?
이 문제는 붉은 구슬을 꺼냈다는 겨로가로 부터 원인(=어느 항아리가 놓였을까)을 추정하는 문제라고 생각할 수 있다. 베이즈 정리를 사용해 그 확률을 추정해 보자.
베이즈 정리를 이용하면, '역확률'을 구할 수 있다.
당신 앞에 항아리 A나 B가 놓일 확률은 공평하게 P(A) = P(B) =1/2 라고 하자. 이같이 판단 정보가 없을 때 평등하게 확실할 것 같다고 간주해 설정한 확류을 '사전 확률'이라고 한다.
A가 놓였을때 붉은 구슬을 꺼낼 조건부 확률 P(red | A)를 구해보자.
A에는 구슬이 20개 있고 그 가운데 4개가 붉은색이므로 P(red | A) = 4/20 = 1/5 이다.
마찬가지로 B가 놓였을 때 붉은 구슬을 꺼낼 조건부 확률운 P(red | B) = 12/20 = 3/5 이다.
이들을 베이즈 확률식에 적용하면,
붉은 구슬을 꺼냈을 때 A가 놓였을 확률(즉 붉은 구슬을 꺼냈을 때의 사후확률)은 P(A | red)
= P(A) x P(red | A) / P(red)
= P(A) x P(red | A) / (P(A) x P(red | A) + P(B) x P(red | B)
= 1/2 x 1/5 / ( 1/2 x 1/5 + 1/2 x 3/5 )
= 1/4 = 25%
붉은 구슬을 꺼냈을 때 B가 놓였을 확률(즉 붉은 구슬을 꺼냈을 때의 사후확률)은 P(B | red)
= 1 - P(A | red) = 1 - 1/4 = 3/4 = 75%
같은 방법으로, P(A | blue) 와 P(B | blue)도 구할 수 있다.