베이즈 통계 :: 두 자녀 문제

어떤 가족의 자녀 2명이 있다. 그 가운데 적어도 1명은 아들이다. 이때 2명 모두 아들일 확률은?

미국 수학자 마틴 가드너(Martin Gardener, 1914~2010)가 1959년 Scientific American 저널의 칼럼에 실린 문제

직감적으로는 1/2로 생각되지만, 

1명이 아들이이라고 알려져 이으므로, 2명 모두 아들인지 아닌지는 다른 1명이 아들인지 딸인지로 정해진다. 아들인지 딸인지 각각의 확률은 1/2이다. 

하지만, 가드너의 답은 1/3 이었다. 

왜 직감과 다른 답이 나올까? 

네 가지 경우로 나누어 생각해 보자

'적어도 1명은 아들'이라는 조건이 없으면, '형-남동생', '오빠-여동생', '누나-남동생', '언니-여동생' 의 4가지 경우를 생각할 수 있다. 어느 경우도 확률은 같다. 

여기서, '적어도 1명은 아들'이라는 정보가 주어졌으므로, '언니-여동생'의 경우는 제외되고, 남는 것은 3가지 경우 뿐이다. 

이렇게 남은 3가지 경우 가운데 2명 모두 두 아들인 것은 '형-남동생'의 1가지 경우 밖에 없다. 따라서, 구하는 확률은 1/3이다.