'늑대가 왔다'라고 외치는 소년을 과연 믿을 수 있을까?
어느 마을에 양치기 소녀이 있었다. 소년은 심심한 나머지, '늑대가 왔다'라고 거짓말을 해서 마을 사람들을 불러 모았다. 마을 사람들은 연장을 들고 달려왔지만 장난이라는 것을 알고는 웃으면서 돌아갔다. 소년은 여러번 거짓말을 해서 마을 사람들을 속였다.
어느 날 소년 앞에 정말로 늑대가 나타났다. 소년은 '늑대가 왔다'고 외쳤지만, 마을 사람들은 '더 이상은 속지 않는다'며 소년을 도우러 가지 않았다. 소년은 양들을 모두 잃고 말았다.
이솝 우화 <양치기와 늑대> 이야기는 베이즈 갱신을 생각할 수 있다
소년이 '거짓말쟁이'일 확률을 생각해 보자
베이즈 정리를 이용해서 이 이야기를 생각해 보자. 마을 사람들은 처음에 소년을 신뢰하고 있었으므로, 소년이 거짓말쟁이일 확률은 0.1, 정직한 아이일 확률을 0.9로 하자(사전확률).
소년이 '늑대가 왔다'라고 외친 후 늑대가 발견될 확률을 0.8, 늑대가 도망가 버려 발견되지 않을 확률을 0.2라고 하자.
한편, 소년이 거짓말쟁이라고 살지라도 실제로 늑대가 오면 '늑대가 왔다'라고 외치며 도움을 청하기 때문에, 소년이 거짓말쟁이일 때 늑대가 0.3의 확률로 발견된다고 하자.
이때 소년이 거짓말쟁이일 확률(사후 확률)을 계산하면, 베이즈 정리로 부터 0.28이 된다. 소년이 거짓말쟁이일 확률은 사전확률 10%에서 28%로 높아진 셈이다. 실은 베이즈 통계에서는 이 확률의 변화가 매우 중요하다.
사후 확률을 구하면,
P(거짓 | 미발견)
= P(거짓) x P(미발견 | 거짓) / P(미발견)
= P(거짓) x P(미발견 | 거짓) / { P(거짓) x P(미발견 | 거짓) + P(정직) x P(미발견 | 정직)
= 0.1 x 0.7 / {0.1 x 0.7 + 0.9 x 0.2}
= 0.28
P(정직 | 미발견)
= 0.72
새로운 결과가 나올 때 마다 '거짓말쟁이일 확률'은 갱신된다
늑대가 발견되지 않아 마을 사람들의 도움은 허탕이 된다. 소년이 거짓말쟁이일 확률은 최초의 10%에서 28%로 높아졌다. 이제 이 허탕치는 일이 2회, 3회 되풀이 되면 소년이 거짓말쟁이일 확률은 어떻게 바뀔까?
5회의 허탕으로 소년은 거짓말쟁이로 확신
소년이 거짓말쟁이일 확률은 처음 10%에서
1회 허탕으로 28%,
2회 허탕으로 57.6%,
3회 허탕으로 82.7%,
4회 허탕으로 94.3%,
5회 허탕으로 98.3%까지 상승한다.
이제 마을 사람들은 결국 소년은 거짓말쟁이라고 확신하게 된다. 다음에 '늑대가 왔다'는 말을 들어도 소년을 도우러 가지 않을 것이다.
베이즈 갱신
이처럼 어떤 일이 일어날 때 마다 사후 확률은 차츰 갱신(업데이트)되어 같다. 이것을 '베이즈 갱신'이라고 한다. 최초의 사전확률이 설령 개개관성이 부족한 것이었다고 해도, 베이즈 갱신을 거듭함으로써 얻는 사후 확률은 차츰 신뢰할 수 있는 것이 되어 간다.
6회째 늑대가 실제로 나타나면?
그런데 5회째 허탕을 친 뒤 6회째에 녹대가 실제로 나타났다고 가정하자. 이 때 소년이 거짓말쟁이일 확률이 98.3%에서 95.6%로 내려간다. 계속해서 늑대가 다시 나타나면, 사후 확률은 89.1%가 되지만, 여전히 높은 상태이다. 거짓말쟁이일 확률이 높아진 뒤에는, 늑대가 한번이나 두번 실제로 나타났다고 해서 소년이 정직한 아이일 확률이 바로 높아지는 것은 아니다.
늑대와 양치기 소년 증후군
미국의 수학자이자 정치학자인 앨버트 월스테터(Albert Wohlstetter, 1913-1997)는 여러 번의 경고에 대해 둔감해지는 경향을 '늑대와 양치기 소년 증후군'이라고 하면서 제 2차 세계 대전 때 미국이 일본군의 진주만 공격을 예측하지 못했던 원인이라고 했다.
