기상 기후 강의 노트

경계층의 정의

경계층은 지면의 영향에 가장 민감하게 반응하는 대기층

인간을 포함하는 동식물이 생존하는 매우 중요한 영역

대부분의 자연현상이 이곳에서 발생

경계층의 높이는 지표로부터 약 100m~1km 정도

지표면의 열과 수분은 경계층으로 공급되고, 이것은 궁극적으로 기상 시스템의 에너지원이 되는 것과 동시에 공기의 운동에 표면 마찰력이 영향을 미치는데, 이러한 영향은 운동량을 감소시킨다.

경계층의 상태와 구조는 습도,온도, 바람의 변화에 의존.

시간(1-hr) 또는 그 보다 더 작은 시간 규모(time-scale)에서, 지표 강제력에 반응

일(1-day) 또는 그보다 더 긴 시간 규모에서, 대류권 전체는 지표로부터의 열과 수분에 영향을 받는다.

경계층 기상학에서 수평 풍속 와 연직 풍속 는 매우 중요한 요소.

(1)

A는 풍속과 지표 상태에 의존하는 상수.

이 식을 적분하면,

(2)

B 는 적분 상수. u(z)는 z 높이에서의 수평 풍속.

식 (2)의 의미: 경계층에서의 이상적인 (ideal한) 흐름은 대수(로그)함수의 경향을 보인다

아래 그림은 균일 지표 상에서의 윈드 프로파일 

그림 1. 균일 지표 상에서 윈드 프로파일

마찰력으로 인해 경계층 내에서 풍속은 고도에 따라 증가.

저층의 풍속은 고도에 따라 빠르게 증가, 고층에서의 풍속은 느리게 증가.

마찰력은 저기압을 향해 부는 바람을 편향시키고 저감시키는 이중의 효과를 가짐.

경계층 영역

1. 난류 경계층

층류경계층 위에 존재하는 난류 혼합층

2. 층류 경계층 

지표에 직접 접한 영역은 층류경계층으로, 이곳에서의 흐름은 난류가 없고, 층류이며, 유선들은 서로 평행하다. 층류경계층은 지표에 밀착되어 있어, 지표와 난류경계층 사이에서 완충역할을 한다

그림 2. 난류경계층과 층류경계층

전단(Shear)

전단 (자르다, 큰 가위, shear) = 층밀림.

물체의 어떤 단면에 평행으로 서로 반대방향인 한 쌍의 힘을 작용시키면 물체가 그 면을 따라 미끄러져서 절단되는 것을 전단 (또는 층밀리기)라고 한다. 

• 쉽게 말해 가위로 종이를 자를 때, 가위가 종이에 작용하는 힘.

전단력에 의해서 물체 내부의 단면에 생기는 내력(內力)을 전단응력(剪斷應力) 이라고 하며, 단위면적당 힘으로 표시된다.

전단변형(Shear Strain)

층밀림 변형: 원래 직각이었던 육면체 요소가 변형되어, 내부 각도의 변화 초래

응력(stress)

물체에 외력이 작용할 때, 그 힘에 저항하여 물체의 형태를 유지하려는 내력.

하중(荷重)의 종류에 따라, 전단응력(剪斷應力), 인장응력(장력), 압축응력으로 분류.

• 전단응력: 단면에 평행인 응력(접선 성분)으로 접선응력 (또는 수평응력)
• 인장응력, 압축응력:  단면에 수직인 응력(법선 성분)으로 수직응력 (또는 법선응력)

응력의 세기 = 단위면적당의 힘  (σ=p/A)

•  σ은 응력, p는 외력, A는 단면적.

일반적으로, 물체내의 동일점에서의 응력이라도 면의 방향에 따라 그 종류나 세기가 다르다.

전단응력(shear stress) = 층밀림 응력=수평응력

전단력으로 발생하는 응력

단위면적 당 수평력

힘이 면에 접선방향으로 평행하게 작용할 때 면적에 작용하는 힘/면적 비 (N/㎡)

(전단 응력) = (접선방향 힘) ÷ (면적)

• 고체역학: (전단 응력) = (전단 계수) x (변형)    :  고체는 전단응력에 저항함, 변형량(Strain)에 비례함
• 유체역학: (전단 응력) = (점성 계수) x (변형률) :  유체는 전단응력에 연속적으로 변형됨. 변형율(strain rate)에 비례함

전단응력이 작용하게 되면, 유체의 변형이 생기므로 전단변형률(shear strain)을 갖는다 (아래 그림)

어떤 유체의 상단에 전단응력이 계속 작용함에 따라 전단변형률도 커진다.

전단응력과 전단변형률이 정비례하면 (즉, 응력과 응변율 사이가 직선관계), ‘뉴턴유체(Newtonian fluids), 나머지는 non-Newtonian fluids라 정의한다.

γ (gamma) : 전단변형률

τ (tau) : 전단응력

속도 u는 surface로부터의 거리 y에 따라 증가하지만, 증가율은 거리에 따라 감소

전단율은 du/dy로 정의됨.

운동량 (모멘텀) 플럭스 

전단응력은 운동량 플럭스로 해석할 수 있음. (단위면적당 힘)

움직이는 유체는 그 보다 빨리 움직이는 유체층으로부터 운동량을 전달 받음

흐름 방향에 수직인 방향으로의 운동량 플럭스는 속도 구배에 비례하며, 비례 상수는 유체 점도에 해당                    

  τ = μ du/dy

속도구배는 운동량 전달의 구동력(driving force)

Stress (응력)의 개념

Stress: 물체에 변형을 유발하려고 하는 단위 면적당 힘 (F/A)

1. Pressure
2. Reynolds stress
3. Viscous shear stress

Turbulent flux ~> covariace

Momentum flux ~> stress

1. 압력 (Pressure)

정지해 있는 유체에 가해지는 stress

스칼라 단위.

압축과 팽창에 의해서 변형된다. 

방향에 독립. 즉 모든 방향에 대해서 동일하게 작용한다. 즉, 등방성 (isotropic)

 

 

2. 레이놀즈 응력 (Reynolds stress)

난류 운동에서만 관련된 응력

레이놀즈 sterss는 모멘텀 플럭스임. 유속이 다른 공기가 어떤 물체의 면을 가로질러 수송될 때, 그 유속 차이의 비로서 물체의 변형을 일으킴 (Fig. e)

레이놀즈 응력과 모멘텀 플럭스는 흐름(flow 또는 velocity)의 특성이지, 정적인 (static) 유체(fluid) 자체의 특성은 아님. 

 

 

 

(용어)

플럭스: 단위면적당 단위시간당 유량

모멘텀 = m v (kg m/s)

모멘텀 플럭스 = (kg m/s)/(m^2)/(s) => Kinematic flux => N/m^2 => F/A(stress)

밀도로 나누면 (m s-1) (m s-1), 즉, u'w' => Normal flux

* Reynolds stress = momentum flux

 

3. 점성 응력 (Viscous Shear Stress)

점성 응력은 유체 내 층밀림 즉, 전단 운동(shearing motion)이 존재할 때만 작용한다. 난류든 층류든 상관없음.

유체가 운동을 하면, 유체 내 분자들은 주변 분자들에게 운동과 같은 방향으로 끌림(drag)력을 작용하게 되어 변형을 일으킨다 (Fig. j)

점성력(viscous force)는 육면체의 어떤 면에서든 3방향으로도 작용할 수 있다 (Fig. f) 즉, 한면에 대해서 3방향으로 작용한다. 따라서 9개의 components를 가지는 tensor 이다. 대칭 요소를 제외하면 Reynolds'  stress와 같이 6개 성분만 남는다. 

마찰 속도 (Friction velocity)

  “When I meet God, I am going to ask him two questions: why relativity and why turbulence? I really believe that he will have and answer for the first.”

- 양자역학의 아버지 베르너 하이젠베르크 (Werner Heisenberg)

그 만큼 난류해석이 어렵고 무질서 하다는 의미.

주변에서 가장 흔히 볼 수 있는 난류의 예 담배연기 - 층류에서 어느 순간 갑자기 난류로 바뀜 (사실 유체역학적 정의로서 담배연기 흐름은 난류가 아님.)

일상생활의 대부분은 난류 > 85% 정도?

유체역학 관련 용어 정리 

유체의 정의

액체 또는 기체상의 물질

흐르는 물질에 아주 작은 전단력이라도 작용하기만 하면 연속적으로 영구변형이 일어나 흐르는 물질

유체와 고체의 차이점 (전단응력이 작용할때)

고체: 탄성 한계 내의 전단응력이 작용하는 경우 전단력을 제거하면 원래의 형태로 복원됨. 
유체: 전단력이 작용하기만 하면 영구변형되어 흐르고, 전단력을 제거해도 원래의 형태로 되돌아 오지 않는다.

유체와 고체의 공통점(압축응력이 작용할때)

유체도 고체와 마찬가지로 탄성을 가짐.

압축응력을 가하면 부피가 감소하고, 압축응력을 제거하면 원래의 형태로 되돌아 온다.

• 용어: 응력 (응력,전단응력,레이놀즈응력,점성응력)

뉴턴유체

전단응력과 전단변형률의 관계가 선형적인 관계, 그 관계 곡선이 원점을 지나는 유체.

그 비례 상수가 바로 점성 계수(viscosity coefficient)

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%89%B4%ED%84%B4_%EC%9C%A0%EC%B2%B4

비뉴턴유체

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B9%84%EB%89%B4%ED%84%B4_%EC%9C%A0%EC%B2%B4

경계층 (boundary Layer): 고체의 경계가 유체의 흐름에 영향을 미치는 영역

점성흐름 (viscous flow): 경계층에서 발생하는 흐름

유체역학의 해석방법

Lagrangian description: 유체는 운동하는 수많은 입자로 구성된 것으로 가정 (미시적관점)

Eulerian description:  개별분자 운동은 무시하고, 연속체 (continuous medium)으로 가정 (거시적 관점), 다루기 더 편하다.

전산유체역학

유체의 특성을 분류하는 이유: 복잡한 유동에서 무시할 수 있는 변수를 제거하여 단순하게 문제를 해석, 해결하기 위함.

복잡한 유동은 컴퓨터를 이용해서 해석하는 데, 이를 전산유체 역학 (Computational Fluid Dynamics, CFD)라고 함.

Naiver-Stokes equation (2계 비선형 편미분방정식): 유체역학에서 베르누이 방정식과 함께 가장 유명한 식.

이 식은 해석해를 구할 수 없기에, 수치해석으로 근사해를 구함.

CFD는 풍동실험보다 비용면에서 저렴하나, 오류/오차가 발생하기 쉽다. 

https://aeir.tistory.com/entry/%ED%85%90%EC%84%9C-%EC%9A%94%EC%95%BD-%ED%91%9C%EA%B8%B0%EB%B2%95-summation-notation

평균의 여러가지 형태

① 시간 평균(time average) 

: instantaneous variable

: sampling time

      안정한 평균을 얻고 흐름에 기여하는 큰 에디의 효과를 포함시킬 만큼 충분히 길어야 함

      반면 흐름내에 나타나는 경향을 희석할 정도로 너무 길어서는 안됨

      고정된 측기로부터 관측된 자료분석에 주로 사용됨

       미기상학적 관측에서 주로 사용되는 최적의 평균 시간 10^3~10^4초이다.

② 공간 평균(spatial average)

비행기, 레이더 및 소다관측 분석에 사용됨

③ 앙상블 평균 (Ensemble average)

동일한 조건으로부터 반복적으로 수행된 실험의 결과들에 대한 산술 평균

이론에서는 항상 사용되지만 실제에서는 거의 사용되지 않음

시간 평균=공간 평균=앙상블 평균 조건을 만족하려면, 정상상태이고 공간적으로 동질해야함 (ergodic 상태)

난류의 통계 수학적 표현 = 레이놀즈 분해법

레이놀즈 분해 (eynolds decomposition): 순간장(섭동장,perturbation, fluctuation)을 평균과 변동으로 분해하는 것

레이놀즈 평균

레이놀즈 섭동항

분산과 난류 플럭스

분산: 변동수준을 측정함

난류 강도

: 평균 풍속             

: 속도성분의 표준편차

상관계수 

공분산

∴ 전체 플럭스는 평균 수송과 난류 수송의 합으로 구성됨

운동량 연직 플럭스

Reynolds stress는 점성응력보다 훨씬 크다.

관련 예제

나비아-스토크 방정식 (Navier-Stokces equations) - 평균류

뉴턴의 운동 제2법칙, 운동량 보존 법칙으로부터 유도된, 자전하는 지구 상에서의 유체의 힘의 균형을 나타내는 N-S 방정식은 아래와 같다 

아래 식 유도는 Holton 역학책 Boussinesq Approximation 에서 유도한 식. 

좌(1)항: 유체 요소에 가해지는 국지 가속으로 발생하는 관성력 (국지항)

우(1-3)항: 유체 요소에 가해지는 이류 가속으로 발생하는 관성력 (이류항)  

우(4)항: 유체 요소에 작용하는 기압경도력 (PGF)

우(5)항: 유체 요소에 작용하는 겉보기 힘 (코리올리 힘 또는 가속도),
우(6)항: 유체 요소에 작용하는 점성력 또는 마찰력 (점성항)

좌(1)항과 우(1-3)항을 합치면 전미분 형태로서 tendency term으로 불림

난류항은 난류 및 레이놀즈 응력항이 적용되어야 함. 

N-S 방정식은 이차 계수의 비선형 편미분 방정식이고, 비선형인 관성항과 점성항으로 인해서 이 방정식의 해석해를 구하는 것은 불가능. 따라서 차분을 이용한 수치해석 방법으로 근사치를 구한다. 

각 항들은 경우에 따라 아래와 같이 생략하여 해석할 수 있다.

1. 정상류 (steady flow) 인 경우, tendency term --> 0.

2. 수평적으로 균질한 지표면 상에서, 이류항 --> 0.

3. 고/저기압 가운데나 미규모 운동인 경우, PGF  --> 0.

4. 적도에서, Co.F term --> 0.

5. 점성항을 무시하면, 비점성 (또는 이상적인) 유체에 대한 오일러 방정식이 됨.

import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
plt.figure(figsize=(28,12))
import plotnine as p9
p9.ggplot(data=df, mapping=p9.aes(x='Site_No', y='Vis_flag'))+ p9.geom_bar(stat='identity')

import pandas as pd

ind =(df['Vis_flag'] == 1) & (df['Site_No'] == 192)     #조건만 만족하면 index 를 가지고 있다. 괄호가 중요
df[ind]  # 조건에 맞는 모든 열을 추출한다. 

print(np.sort(sum_by_flag['Vis_flag']) #정렬

C:\Users\chpark\OneDrive\My_Code\_Scratch
[  0.   0.   0.   0.   1.   3.  13.  14.  14.  19.  22.  25.  27.  28.
  32.  32.  34.  46.  48.  61.  63.  65.  75.  79.  89. 102. 105. 111.
 114. 124. 125. 156. 181. 181. 191. 198. 202. 208. 223. 272. 397. 643.
 881.]

print(np.sort(sum_by_flag['Vis_flag'])[::-1])#  역정렬

C:\Users\chpark\OneDrive\My_Code\_Scratch
[881. 643. 397. 272. 223. 208. 202. 198. 191. 181. 181. 156. 125. 124.
 114. 111. 105. 102.  89.  79.  75.  65.  63.  61.  48.  46.  34.  32.
  32.  28.  27.  25.  22.  19.  14.  14.  13.   3.   1.   0.   0.   0.
   0.]

아래는 사이트 별 빈도수 그림그리는 법

import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
plt.figure(figsize=(28,12))
import plotnine as p9
p9.ggplot(data=df, mapping=p9.aes(x='Site_No', y='Vis_flag'))+ p9.geom_bar(stat='identity')